Номер 3, страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Найдите угол $ACB$, если вписанные углы $ADB$ и $DBE$ опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно $118^\circ$ и $42^\circ$ (рис. 18.2).

Рис. 18.2

Согласно условию задачи, вписанный угол $ADB$ опирается на дугу окружности, градусная величина которой равна $118^\circ$. Эта дуга — $AB$. Таким образом, градусная мера дуги $AB$ составляет $118^\circ$.

Аналогично, вписанный угол $DBE$ опирается на дугу $DE$, градусная мера которой равна $42^\circ$. Следовательно, градусная мера дуги $DE$ составляет $42^\circ$.

Для нахождения искомого угла $ACB$ воспользуемся свойством вписанных углов и теоремой о внешнем угле треугольника.

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Найдем величины вписанных углов $AEB$ и $DAE$.

Вписанный угол $AEB$ опирается на дугу $AB$, поэтому его величина равна: $\angle AEB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 118^\circ = 59^\circ$.

Вписанный угол $DAE$ опирается на дугу $DE$, поэтому его величина равна: $\angle DAE = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } DE = \frac{1}{2} \cdot 42^\circ = 21^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AEC$. Угол $AEB$ является для него внешним углом при вершине $E$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AEB = \angle EAC + \angle ACE$.

Так как точки $A, D, C$ лежат на одной прямой, то $\angle EAC$ — это тот же угол, что и $\angle DAE$. Угол $\angle ACE$ — это искомый угол $\angle ACB$. Подставим известные значения в равенство: $59^\circ = 21^\circ + \angle ACB$.

Выразим и вычислим $\angle ACB$: $\angle ACB = 59^\circ - 21^\circ = 38^\circ$.

Ответ: $38^\circ$.