Номер 7, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Угол $ACB$ равен $38^\circ$. Его сторона $CA$ касается окружности, сторона $CB$ проходит через центр окружности. Найдите градусную величину дуги $AB$ окружности, заключенной внутри этого угла (рис. 18.5).

Рис. 18.5

Соединим центр окружности $O$ с точкой касания $A$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, $OA \perp CA$, и треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OAC = 90^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAC$ известны два угла: $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OCA = \angle ACB = 38^\circ$ (согласно условию). Найдем третий угол, $\angle AOC$:
$\angle AOC = 180^\circ - \angle OAC - \angle OCA = 180^\circ - 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ$.

Угол $\angle AOC$ является центральным и опирается на дугу $AD$. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом, градусная мера дуги $AD$ равна $52^\circ$.

По условию, прямая $CB$ проходит через центр окружности $O$. Это означает, что хорда $DB$ является диаметром окружности. Диаметр делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна $180^\circ$. Дуга $DAB$, на которую опирается диаметр $DB$, является одной из таких полуокружностей.

Дуга $DAB$ состоит из дуг $AD$ и $AB$. Следовательно, ее градусная мера равна сумме градусных мер этих дуг:
$\text{дуга } DAB = \text{дуга } AD + \text{дуга } AB$
$180^\circ = 52^\circ + \text{дуга } AB$

Из этого уравнения находим искомую градусную величину дуги $AB$:
$\text{дуга } AB = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$.

Ответ: $128^\circ$.