Вопросы, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что можно сказать о произведениях отрезков пересекающихся хорд окружности?

2. Что можно сказать о произведениях отрезков секущих, проведенных к окружности из одной точки?

3. Какое соотношение имеется между отрезками секущей и отрезком касательной, проведенными к окружности из одной точки?

1. Что можно сказать о произведениях отрезков пересекающихся хорд окружности?

Это свойство описывается теоремой о пересекающихся хордах (также известной как теорема о степени точки относительно окружности для точки, лежащей внутри окружности).
Формулировка теоремы: если две хорды окружности, $AB$ и $CD$, пересекаются в точке $P$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Математически это выражается формулой: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$
Доказательство: Рассмотрим треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$.
1. Углы $\angle PAC$ и $\angle PDC$ равны, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $CB$.
2. Углы $\angle APC$ и $\angle DPB$ равны как вертикальные.
Следовательно, треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$ подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB}$
Применив правило перекрестного умножения, получаем искомое равенство: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$
Ответ: Произведения отрезков, на которые точка пересечения делит хорды, равны между собой.

2. Что можно сказать о произведениях отрезков секущих, проведенных к окружности из одной точки?

Это свойство описывается теоремой о двух секущих (частный случай теоремы о степени точки относительно окружности для точки, лежащей вне окружности).
Формулировка теоремы: если из точки $P$, лежащей вне окружности, проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $A, B$ и $C, D$ соответственно (так, что точка $P$ лежит на прямых $AB$ и $CD$ вне отрезков $AB$ и $CD$), то произведение длины внешней части секущей на длину всей секущей является величиной постоянной для всех секущих, проведенных из точки $P$.
Математически это выражается формулой: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$
Доказательство: Рассмотрим треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$.
1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.
2. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Свойство вписанного четырехугольника гласит, что сумма противоположных углов равна $180^\circ$, т.е. $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$. Угол $\angle PCB$ смежный с углом $\angle BCD$, поэтому $\angle PCB = 180^\circ - \angle BCD$. Отсюда следует, что $\angle PCB = \angle DAB$ (или $\angle PAB$).
Следовательно, треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$ подобны по двум углам. Из их подобия следует: $\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$
Применив правило перекрестного умножения, получаем: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$
Ответ: Произведение длины внешней части секущей на длину всей секущей есть величина постоянная для всех секущих, проведенных к окружности из одной и той же точки.

3. Какое соотношение имеется между отрезками секущей и отрезком касательной, проведенными к окружности из одной точки?

Это соотношение описывается теоремой о касательной и секущей.
Формулировка теоремы: если из точки $P$, лежащей вне окружности, к ней проведены касательная, касающаяся окружности в точке $T$, и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ ($A$ — ближайшая к $P$ точка), то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины внешней части секущей на длину всей секущей.
Математически это выражается формулой: $PT^2 = PA \cdot PB$
Доказательство: Рассмотрим треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$.
1. Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.
2. Угол $\angle PTA$ между касательной $PT$ и хордой $AT$ равен половине угловой меры дуги $AT$, заключенной между ними. Вписанный угол $\angle TBP$ (или $\angle ABP$) также измеряется половиной дуги $AT$, на которую он опирается. Следовательно, $\angle PTA = \angle PBT$.
Таким образом, треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$ подобны по двум углам. Из их подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT}$
Применив правило перекрестного умножения, получаем искомое равенство: $PT^2 = PA \cdot PB$
Ответ: Квадрат длины отрезка касательной, проведенной из данной точки, равен произведению длины отрезка секущей от этой точки до дальней точки пересечения с окружностью на длину ее отрезка от той же точки до ближней точки пересечения.