Номер 18, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Докажите, что для радиуса $r_a$ окружности, вневписанной в треугольник ABC со сторонами $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$ и касающейся стороны $BC$, имеет место формула

$r_a = \frac{2S}{b+c-a}$

18. Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ и площадью $S$. Пусть $O_a$ — центр вневписанной окружности, которая касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Обозначим радиус этой окружности как $r_a$.

По определению, центр $O_a$ равноудален от прямых $BC$, $AB$ и $AC$. Пусть $K_a$, $M_a$, $L_a$ — точки касания окружности с прямой $BC$, продолжением $AB$ и продолжением $AC$ соответственно. Тогда расстояния от $O_a$ до этих прямых равны $r_a$, и являются высотами в соответствующих треугольниках с вершиной $O_a$.

Соединим центр $O_a$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через площади треугольников с общей вершиной $O_a$.
Площадь треугольника $ABO_a$ равна $S_{ABO_a} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r_a = \frac{1}{2}cr_a$.
Площадь треугольника $ACO_a$ равна $S_{ACO_a} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot r_a = \frac{1}{2}br_a$.
Площадь треугольника $BCO_a$ равна $S_{BCO_a} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r_a = \frac{1}{2}ar_a$.

Площадь треугольника $ABC$ ($S$) можно представить как сумму площадей треугольников $ABO_a$ и $ACO_a$ минус площадь треугольника $BCO_a$. Геометрически, фигура, образованная объединением треугольников $ABO_a$ и $ACO_a$, состоит из треугольника $ABC$ и треугольника $BCO_a$.
Следовательно, $S_{ABO_a} + S_{ACO_a} = S_{ABC} + S_{BCO_a}$, откуда $S = S_{ABO_a} + S_{ACO_a} - S_{BCO_a}$.

Подставим выражения для площадей в это равенство:
$S = \frac{1}{2}cr_a + \frac{1}{2}br_a - \frac{1}{2}ar_a$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r_a$ за скобки:
$S = \frac{1}{2}r_a(b+c-a)$.

Домножим обе части равенства на 2 и выразим $r_a$:
$2S = r_a(b+c-a)$,
откуда следует $r_a = \frac{2S}{b+c-a}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $r_a = \frac{2S}{b + c - a}$ доказана.