Номер 19, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Найдите радиус вневписанной окружности для правильного треугольника со стороной 1.

Радиус вневписанной окружности треугольника можно найти по формуле, связывающей его с площадью и полупериметром треугольника. Для правильного (равностороннего) треугольника все три вневписанные окружности имеют одинаковый радиус, поскольку все стороны и углы равны.

Пусть сторона правильного треугольника равна $a$. По условию задачи $a=1$.

Общая формула для радиуса вневписанной окружности $r_a$, касающейся стороны $a$:

$r_a = \frac{S}{p-a}$

где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$ правильного треугольника со стороной $a=1$.

Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон:

$p = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2}$

Подставляем значение $a=1$:

$p = \frac{3 \cdot 1}{2} = \frac{3}{2}$

2. Найдем площадь $S$ правильного треугольника со стороной $a=1$.

Формула площади правильного треугольника:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставляем значение $a=1$:

$S = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

3. Вычислим радиус вневписанной окружности $r_a$.

Теперь подставим найденные значения $S$ и $p$ в исходную формулу:

$r_a = \frac{S}{p-a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{2}-1}$

Вычислим знаменатель:

$\frac{3}{2}-1 = \frac{3}{2}-\frac{2}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь выполним деление:

$r_a = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, радиус вневписанной окружности для правильного треугольника со стороной 1 равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$