Номер 22, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Высоты $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.

Докажите, что треугольники $ABH$ и $B_1A_1H$ подобны.

Рассмотрим треугольники $AHB_1$ и $BHA_1$.

По условию задачи, $AA_1$ и $BB_1$ являются высотами треугольника $ABC$. Это значит, что они перпендикулярны сторонам, к которым проведены: $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$.Следовательно, углы $\angle AB_1H$ и $\angle BA_1H$ являются прямыми: $\angle AB_1H = 90^\circ$ и $\angle BA_1H = 90^\circ$.

Теперь сравним треугольники $AHB_1$ и $BHA_1$:
1. $\angle AB_1H = \angle BA_1H = 90^\circ$ (по определению высоты).
2. $\angle AHB_1 = \angle BHA_1$ (как вертикальные углы).

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники $AHB_1$ и $BHA_1$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).Запишем это: $\triangle AHB_1 \sim \triangle BHA_1$.

Из подобия этих треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Соответственными сторонами являются те, что лежат напротив равных углов. Таким образом, получаем соотношение:$\frac{AH}{BH} = \frac{B_1H}{A_1H}$

Преобразуем эту пропорцию. По свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), можно записать:$AH \cdot A_1H = BH \cdot B_1H$

Разделив обе части этого равенства на произведение $A_1H \cdot B_1H$ (эти отрезки не равны нулю для невырожденного треугольника), получим новое соотношение:$\frac{AH}{B_1H} = \frac{BH}{A_1H}$

Теперь рассмотрим треугольники $ABH$ и $B_1A_1H$, подобие которых нам необходимо доказать.
1. Углы $\angle AHB$ и $\angle B_1HA_1$ равны, так как они являются вертикальными: $\angle AHB = \angle B_1HA_1$.
2. Мы только что доказали, что стороны, образующие эти углы в данных треугольниках, пропорциональны: $\frac{AH}{B_1H} = \frac{BH}{A_1H}$.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольники $ABH$ и $B_1A_1H$ подобны.Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $ABH$ и $B_1A_1H$ подобны.