Номер 22, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Из точки $A$ пересечения двух окружностей проведены их диаметры $AB$ и $AC$. Докажите, что точки $B$, $C$ и вторая точка $D$ пересечения окружностей принадлежат одной прямой (рис. 17.19).

Рис. 17.19

Пусть даны две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$, которые пересекаются в точках $A$ и $D$. Из точки $A$ проведены диаметр $AB$ первой окружности и диаметр $AC$ второй окружности. Требуется доказать, что точки $B$, $C$ и вторая точка пересечения окружностей $D$ лежат на одной прямой.

Доказательство:

1. Соединим точку $D$ с точками $B$ и $C$. Рассмотрим треугольник $ADB$. Этот треугольник вписан в первую окружность, а его сторона $AB$ является диаметром этой окружности. Угол $∠ADB$ — это вписанный угол, который опирается на диаметр $AB$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, его величина равна $90°$. Следовательно, $∠ADB = 90°$. Это означает, что отрезок $BD$ перпендикулярен отрезку $AD$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Этот треугольник вписан во вторую окружность, а его сторона $AC$ является диаметром этой окружности. Угол $∠ADC$ — это вписанный угол, который опирается на диаметр $AC$. Аналогично предыдущему пункту, $∠ADC = 90°$. Это означает, что отрезок $CD$ также перпендикулярен отрезку $AD$.

3. Мы имеем два отрезка, $BD$ и $CD$, которые выходят из одной точки $D$ и оба перпендикулярны одному и тому же отрезку $AD$. Из аксиомы геометрии следует, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной. В нашем случае, поскольку оба луча $DB$ и $DC$ перпендикулярны прямой $AD$ и исходят из одной точки $D$, они должны лежать на одной прямой.

4. Также можно рассмотреть угол $∠BDC$. Этот угол является суммой углов $∠ADB$ и $∠ADC$, так как они примыкают друг к другу.$∠BDC = ∠ADB + ∠ADC = 90° + 90° = 180°$.

Поскольку угол $∠BDC$ равен $180°$, он является развернутым углом. Это означает, что точки $B$, $D$ и $C$ лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Углы $∠ADB$ и $∠ADC$ являются вписанными и опираются на диаметры $AB$ и $AC$ соответственно, поэтому каждый из них равен $90°$. Сумма этих углов $∠BDC = ∠ADB + ∠ADC = 90° + 90° = 180°$, что означает, что угол $∠BDC$ — развернутый, а точки $B$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.