Номер 18, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Пусть в окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R$ проведена хорда $AB$. По условию задачи, длина этой хорды равна радиусу окружности: $AB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный концами хорды $A$, $B$ и центром окружности $O$. Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами окружности, поэтому $OA = R$ и $OB = R$. Так как по условию и хорда $AB = R$, то все стороны треугольника $\triangle AOB$ равны между собой. Следовательно, этот треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$. Значит, центральный угол $\angle AOB$, который опирается на хорду $AB$, равен $60^\circ$.

Центральный угол определяет градусную меру дуги, на которую он опирается. Таким образом, хорда $AB$ стягивает меньшую дугу, градусная мера которой составляет $60^\circ$.

Хорда делит окружность на две дуги. Большая дуга будет равна разности полной окружности и меньшей дуги:$360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. На хорду $AB$ могут опираться два вписанных угла: один острый, другой тупой.

• Острый вписанный угол опирается на меньшую дугу и равен $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
• Тупой вписанный угол опирается на большую дугу и равен $\frac{300^\circ}{2} = 150^\circ$.

В задаче требуется найти именно тупой угол.

Ответ: $150^\circ$.