Номер 13, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите величину угла $ACB$ (рис. 17.13).

Рис. 17.13

Для нахождения величины угла $ACB$ воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы одна из сторон клетки сетки была равна единице.

Определим координаты вершин треугольника $ABC$ по рисунку. Пусть точка $A$ имеет координаты $(1, 1)$. Тогда точка $B$ будет иметь координаты $(5, 1)$, а точка $C$ — $(3, 4)$.

Теперь найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина стороны $AC$:

$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.

Длина стороны $BC$:

$BC = \sqrt{(5-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.

Длина стороны $AB$:

$AB = \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Теперь, зная длины всех трех сторон треугольника, мы можем найти косинус угла $ACB$ с помощью теоремы косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$

Подставим в формулу найденные значения длин сторон:

$4^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{13})^2 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{13} \cdot \cos(\angle ACB)$

$16 = 13 + 13 - 2 \cdot 13 \cdot \cos(\angle ACB)$

$16 = 26 - 26 \cdot \cos(\angle ACB)$

Выразим из этого уравнения $\cos(\angle ACB)$:

$26 \cdot \cos(\angle ACB) = 26 - 16$

$26 \cdot \cos(\angle ACB) = 10$

$\cos(\angle ACB) = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$

Таким образом, величина угла $ACB$ — это угол, косинус которого равен $\frac{5}{13}$.

Ответ: $\arccos(\frac{5}{13})$.