Номер 8, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В окружности с центром $O$ $AB$ и $CD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $110^\circ$. Найдите вписанный угол $ABC$ рис. $(17.10)$.

Рис. 17.10

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1. Через центральные и вписанные углы

1. Искомый угол $\angle ABC$ является вписанным углом, который опирается на дугу $AC$. По свойству вписанного угла, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC$.

2. Градусная мера дуги $AC$ равна величине соответствующего ей центрального угла $\angle AOC$.

3. Поскольку $CD$ — это диаметр, то точки $C$, $O$ и $D$ лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle COD$ — развернутый и равен $180°$. Углы $\angle AOD$ и $\angle AOC$ являются смежными.

4. Сумма смежных углов равна $180°$. Из условия известно, что $\angle AOD = 110°$. Следовательно, мы можем найти угол $\angle AOC$:

$\angle AOC = 180° - \angle AOD = 180° - 110° = 70°$.

5. Теперь, зная величину центрального угла $\angle AOC$, мы можем найти вписанный угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 70° = 35°$.

Способ 2. Через свойства равнобедренного треугольника

1. Поскольку $AB$ и $CD$ — это диаметры, они пересекаются в центре окружности $O$. Углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются вертикальными углами.

2. Вертикальные углы равны, поэтому $\angle BOC = \angle AOD$. По условию $\angle AOD = 110°$, значит, $\angle BOC = 110°$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. Его стороны $OB$ и $OC$ являются радиусами окружности, а значит, они равны: $OB = OC$.

4. Следовательно, треугольник $\triangle BOC$ — равнобедренный с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$. Искомый угол $\angle ABC$ — это тот же угол, что и $\angle OBC$.

5. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для треугольника $\triangle BOC$ справедливо:

$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180°$.

6. Подставим известные значения и воспользуемся равенством углов при основании:

$110° + 2 \cdot \angle OBC = 180°$.

7. Найдем величину угла $\angle OBC$:

$2 \cdot \angle OBC = 180° - 110°$

$2 \cdot \angle OBC = 70°$

$\angle OBC = \frac{70°}{2} = 35°$.

8. Так как $\angle ABC = \angle OBC$, то $\angle ABC = 35°$.

Ответ: $35°$.