Номер 17, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ – хорда этой окружности. По условию, длина хорды равна радиусу, то есть $AB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный концами хорды $A$, $B$ и центром окружности $O$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому их длины равны $R$: $OA = R$, $OB = R$.

Таким образом, все стороны треугольника $\triangle AOB$ равны между собой: $OA = OB = AB = R$. Это означает, что $\triangle AOB$ — равносторонний треугольник.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на хорду $AB$, равен $60^\circ$.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Вписанный угол, о котором говорится в задаче, должен быть острым. Острый вписанный угол опирается на меньшую дугу, стягиваемую хордой $AB$. Градусная мера этой дуги равна соответствующему ей центральному углу, то есть $60^\circ$.

Найдем величину острого вписанного угла (обозначим его $\alpha$):
$\alpha = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Заметим, что существует и второй вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, но он является тупым, так как опирается на большую дугу. Его величина была бы равна $\frac{1}{2} \cdot (360^\circ - 60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 300^\circ = 150^\circ$.

Поскольку вопрос касается именно острого угла, искомое значение равно $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.