Страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

45. Можно ли треугольник пересечь прямой, непараллельной его стороне, так, чтобы отсечь от него подобный треугольник?

Да, это возможно, если исходный треугольник не является равносторонним.

Рассмотрим треугольник $ABC$ с углами $\alpha, \beta, \gamma$ при вершинах $A, B, C$ соответственно. Прямая может пересечь две стороны треугольника, например, $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$. При этом образуется новый, отсеченный треугольник $DCE$.

Угол $\gamma$ при вершине $C$ является общим для исходного треугольника $ABC$ и отсеченного $DCE$. Чтобы треугольники были подобны, их углы должны быть равны. Рассмотрим два возможных варианта соответствия углов:

1. Треугольник $DCE$ подобен треугольнику $CAB$ ($\triangle DCE \sim \triangle CAB$). Это значит, что углы соответствуют следующим образом: $\angle C = \angle C$, $\angle CDE = \angle A = \alpha$ и $\angle CED = \angle B = \beta$. В этом случае прямая $DE$ параллельна стороне $AB$, так как соответственные углы при секущей $AC$ равны ($\angle CDE = \angle CAB$). Этот случай прямо запрещен условием задачи.

2. Треугольник $DCE$ подобен треугольнику $CBA$ ($\triangle DCE \sim \triangle CBA$). В этом случае углы соответствуют так: $\angle C = \angle C$, $\angle CDE = \angle B = \beta$ и $\angle CED = \angle A = \alpha$.

Такой треугольник $DCE$ можно построить. Для этого достаточно на стороне $AC$ выбрать точку $D$ и провести из нее отрезок $DE$ к стороне $BC$ так, чтобы угол $\angle CDE$ был равен углу $\beta$. Тогда третий угол отсеченного треугольника, $\angle CED$, автоматически станет равен $\alpha$, так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle CED = 180^\circ - \gamma - \beta = \alpha$.

Теперь проверим, будет ли секущая прямая $DE$ параллельна какой-либо из сторон. Она не может быть параллельна сторонам $AC$ и $BC$, так как пересекает их. Она будет параллельна стороне $AB$ только в том случае, если $\angle CDE = \angle A$. Но мы построили ее так, что $\angle CDE = \angle B$. Следовательно, прямая $DE$ будет параллельна $AB$ только при условии, что $\angle A = \angle B$.

Таким образом, если у исходного треугольника углы $\angle A$ и $\angle B$ не равны, то можно провести прямую $DE$, которая отсечет подобный ему треугольник ($\triangle DCE \sim \triangle CBA$) и при этом не будет параллельна стороне $AB$.

Это условие ($\angle A \neq \angle B$) выполняется для любого треугольника, который не является равнобедренным с основанием $AB$. Если треугольник не является равносторонним, у него всегда можно выбрать пару неравных углов. Например, в прямоугольном треугольнике с углами $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ все три угла различны.

Единственный случай, когда такое построение невозможно — это равносторонний треугольник. У него все углы равны $60^\circ$, поэтому любое построение подобного треугольника, отсеченного от вершины, неизбежно приведет к случаю 1, где секущая прямая будет параллельна противолежащей стороне.

Поскольку в задаче спрашивается, возможно ли это в принципе, а мы показали, что это возможно для любого неравностороннего треугольника, то ответ на вопрос положительный.

Ответ: Да, можно.

46. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, отрезок $CH$ перпендикулярен гипотенузе $AB$, следовательно, образуются два прямых угла: $\angle CHA = 90^\circ$ и $\angle CHB = 90^\circ$.

Высота $CH$ разделяет исходный треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$. Нам необходимо доказать, что каждый из этих треугольников подобен исходному треугольнику $ABC$. Доказательство проведем, используя первый признак подобия треугольников (по двум равным углам).

1. Сравним треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$.

В этих треугольниках:
- Угол $\angle A$ является общим.
- Угол $\angle AHC$ треугольника $\triangle ACH$ равен $90^\circ$, и угол $\angle ACB$ треугольника $\triangle ABC$ также равен $90^\circ$.
Поскольку два угла одного треугольника ($\angle A$ и $\angle AHC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle A$ и $\angle ACB$), то треугольники подобны.
Следовательно, $\triangle ACH \sim \triangle ABC$.

2. Сравним треугольники $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$.

В этих треугольниках:
- Угол $\angle B$ является общим.
- Угол $\angle CHB$ треугольника $\triangle CBH$ равен $90^\circ$, и угол $\angle ACB$ треугольника $\triangle ABC$ также равен $90^\circ$.
Поскольку два угла одного треугольника ($\angle B$ и $\angle CHB$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle B$ и $\angle ACB$), то треугольники подобны.
Следовательно, $\triangle CBH \sim \triangle ABC$.

Таким образом, мы доказали, что высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ и $\triangle CBH \sim \triangle ABC$, основываясь на первом признаке подобия треугольников (по двум углам).

47. В треугольник $ABC$ вписан ромб $ADEF$ так, что угол $A$ у них общий, а вершина $E$ находится на стороне $BC$ (рис. 14.27). Найдите сторону ромба, если $AB = c$ и $AC = b$.

Рис. 14.27

Пусть сторона ромба ADEF равна $x$. По определению ромба, все его стороны равны, то есть $AD = DE = EF = FA = x$. Также, по свойству ромба, его противолежащие стороны параллельны: $DE \parallel AF$ и $EF \parallel AD$.

Поскольку вершина F лежит на стороне AC, а вершина D — на стороне AB, то прямая AF является частью прямой AC, а прямая AD — частью прямой AB. Следовательно, из параллельности сторон ромба вытекает, что $EF \parallel AB$ и $DE \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle CEF$ и $\triangle CAB$. Так как $EF \parallel AB$, эти треугольники подобны по двум углам: угол $\angle C$ у них общий, а угол $\angle CFE$ равен углу $\angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $AC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{CF}{CA} = \frac{EF}{AB}$

По условию задачи нам даны длины сторон $AC = b$ и $AB = c$. Сторона ромба $EF = x$. Длина отрезка $CF$ равна разности длин $AC$ и $AF$. Так как $AF$ является стороной ромба, $AF = x$. Следовательно, $CF = AC - AF = b - x$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{b - x}{b} = \frac{x}{c}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$c \cdot (b - x) = b \cdot x$

$bc - cx = bx$

$bc = bx + cx$

$bc = x(b + c)$

$x = \frac{bc}{b + c}$

Таким образом, сторона ромба найдена.

Ответ: $\frac{bc}{b+c}$

48. В треугольник $ABC$ со стороной $AB = c$ и высотой $CD = h$ вписан квадрат так, что две его вершины принадлежат стороне $AB$, а две другие — двум другим сторонам треугольника (рис. 14.28). Найдите сторону квадрата.

Пусть сторона вписанного квадрата $EFGH$ равна $x$. По условию, вершины $E$ и $F$ лежат на стороне $AB$, а вершины $H$ и $G$ лежат на сторонах $AC$ и $BC$ соответственно. Из этого следует, что сторона квадрата $HG$ параллельна стороне $AB$ треугольника.

Рассмотрим два треугольника: исходный $\triangle ABC$ и треугольник $\triangle HGC$, образованный стороной квадрата $HG$ и отрезками боковых сторон треугольника. Поскольку $HG \parallel AB$, то $\triangle HGC$ подобен $\triangle ABC$ (по трём углам: $\angle C$ — общий, а углы при основаниях $HG$ и $AB$ попарно равны как соответственные при параллельных прямых и секущих).

Для подобных треугольников отношение их оснований равно отношению их высот.

Основание треугольника $\triangle ABC$ — это сторона $AB = c$. Его высота — это $CD = h$.

Основание треугольника $\triangle HGC$ — это сторона квадрата $HG = x$. Его высота, проведенная из вершины $C$ к основанию $HG$, является частью высоты $CD$. Обозначим точку пересечения $CD$ и $HG$ как $K$. Тогда высота треугольника $\triangle HGC$ — это отрезок $CK$. Длина отрезка $KD$ равна стороне квадрата $x$ (так как это расстояние между параллельными прямыми $HG$ и $AB$). Следовательно, высота $CK = CD - KD = h - x$.

Составим пропорцию из отношения высот и оснований: $$ \frac{\text{Высота } \triangle HGC}{\text{Высота } \triangle ABC} = \frac{\text{Основание } \triangle HGC}{\text{Основание } \triangle ABC} $$ $$ \frac{CK}{CD} = \frac{HG}{AB} $$

Подставим выражения через известные переменные $c$, $h$ и искомую $x$: $$ \frac{h - x}{h} = \frac{x}{c} $$

Решим это уравнение относительно $x$: $$ c(h - x) = hx $$ $$ ch - cx = hx $$ $$ ch = hx + cx $$ $$ ch = x(h + c) $$ $$ x = \frac{ch}{c + h} $$

Ответ: $ \frac{ch}{c + h} $.

49. На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 14.29). Некоторый предмет $A$ у подножия горы наблюдают сначала с вершины $B$ башни под углом $60^\circ$ к горизонту, а потом с ее основания $C$ под углом $30^\circ$. Найдите высоту $H$ горы.

Обозначим искомую высоту горы (отрезок от подножия до основания башни С) как $H$, а горизонтальное расстояние от наблюдателя в точке А до вертикальной оси горы и башни как $d$.
Из условия задачи и рисунка можно рассмотреть два прямоугольных треугольника с общим катетом $d$.

1. Первый прямоугольный треугольник образован точками A, C и проекцией точки C на горизонталь, проходящую через A. Катетами этого треугольника являются высота горы $H$ и расстояние $d$. Угол подъема (угол при вершине A) равен $30^\circ$. Используя определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике (отношение противолежащего катета к прилежащему), мы можем записать первое уравнение:
$\tan(30^\circ) = \frac{H}{d}$

2. Второй прямоугольный треугольник образован точками A, B и проекцией точки B на ту же горизонталь. Его катетами являются расстояние $d$ и общая высота от уровня наблюдателя до вершины башни. Эта высота равна сумме высоты горы $H$ и высоты башни (100 м), то есть $H + 100$. Угол подъема для этого треугольника равен $60^\circ$. Запишем второе уравнение:
$\tan(60^\circ) = \frac{H + 100}{d}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $H$ и $d$. Для ее решения выразим $d$ из каждого уравнения.
Из первого уравнения: $d = \frac{H}{\tan(30^\circ)}$
Из второго уравнения: $d = \frac{H + 100}{\tan(60^\circ)}$

Поскольку левые части обоих выражений равны (обе равны $d$), мы можем приравнять их правые части:
$\frac{H}{\tan(30^\circ)} = \frac{H + 100}{\tan(60^\circ)}$

Теперь подставим известные табличные значения тангенсов: $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
$\frac{H}{1/\sqrt{3}} = \frac{H + 100}{\sqrt{3}}$

Упростим левую часть уравнения:
$H \cdot \sqrt{3} = \frac{H + 100}{\sqrt{3}}$

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:
$H \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = H + 100$
$3H = H + 100$

Осталось решить простое линейное уравнение относительно $H$:
$3H - H = 100$
$2H = 100$
$H = \frac{100}{2}$
$H = 50$ м.

Ответ: 50 м.

50. Диаметр Луны приблизительно равен $3400 \text{ км}$, и она находится на расстоянии $408000 \text{ км}$ от Земли. На какое расстояние (в сантиметрах) от наблюдателя нужно удалить монету диаметром $1 \text{ см}$, чтобы на вид она стала такой же величины, как Луна?

Чтобы монета на вид стала такой же величины, как Луна, их угловые размеры для наблюдателя должны быть одинаковыми. Это означает, что отношение диаметра объекта к расстоянию до него должно быть одинаковым для Луны и для монеты. Эта зависимость следует из подобия двух треугольников, где глаз наблюдателя является общей вершиной, а диаметры Луны и монеты — основаниями.

Обозначим:
$D_Л$ – диаметр Луны ($3400$ км),
$L_Л$ – расстояние от Земли до Луны ($408000$ км),
$D_м$ – диаметр монеты ($1$ см),
$L_м$ – искомое расстояние от наблюдателя до монеты.

Условие равенства видимых размеров можно записать в виде пропорции:

$\frac{D_Л}{L_Л} = \frac{D_м}{L_м}$

Выразим из этой формулы искомое расстояние $L_м$:

$L_м = D_м \cdot \frac{L_Л}{D_Л}$

Подставим известные значения в формулу. Сначала вычислим отношение расстояния до Луны к её диаметру. Так как обе величины выражены в километрах, их единицы измерения сократятся:

$\frac{L_Л}{D_Л} = \frac{408000 \text{ км}}{3400 \text{ км}} = \frac{40800}{340} = \frac{4080}{34} = 120$

Теперь мы можем найти расстояние до монеты $L_м$. Поскольку диаметр монеты дан в сантиметрах, результат также будет в сантиметрах:

$L_м = 1 \text{ см} \cdot 120 = 120 \text{ см}$

Таким образом, чтобы монета закрывала собой Луну, её необходимо удалить от глаза наблюдателя на расстояние 120 см.

Ответ: 120 см.

51. Повторите тригонометрические функции углов.

52. Для треугольника $ABC$ попробуйте выразить сторо-

51. Повторите тригонометрические функции углов.

Тригонометрические функции устанавливают соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике, а также обобщаются для произвольных углов с помощью единичной окружности.

Определения в прямоугольном треугольнике:
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$, противолежащим катету $a$.
Синус угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $ \sin \alpha = \frac{a}{c} $.
Косинус угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $ \cos \alpha = \frac{b}{c} $.
Тангенс угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $ \tan \alpha = \frac{a}{b} $.
Котангенс угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $ \cot \alpha = \frac{b}{a} $.

Определения через единичную окружность:
Для угла $\alpha$ любой величины рассмотрим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом 1 (единичная окружность). Отложим угол $\alpha$ от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Конечная точка на окружности будет иметь координаты $(x, y)$.
Синус угла $\alpha$: $ \sin \alpha = y $.
Косинус угла $\alpha$: $ \cos \alpha = x $.
Тангенс угла $\alpha$: $ \tan \alpha = \frac{y}{x} $ (определен, если $x \neq 0$).
Котангенс угла $\alpha$: $ \cot \alpha = \frac{x}{y} $ (определен, если $y \neq 0$).

Основные тригонометрические тождества:
- Основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
- Связь тангенса и котангенса с синусом и косинусом: $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.
- Следствия из основного тождества: $ 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $, $ 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.

Ответ: Выше представлен обзор основных определений и тождеств, связанных с тригонометрическими функциями углов.

52. Для треугольника ABC попробуйте выразить сторону...

Так как вопрос в задании сформулирован не полностью, мы рассмотрим общие способы выражения одной стороны произвольного треугольника через другие его элементы (стороны и углы). Для этого используются две основные теоремы: теорема синусов и теорема косинусов.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны, противолежащие вершинам $A, B, C$, равны $a, b, c$ соответственно (т.е. $a = BC, b = AC, c = AB$).

1. Использование теоремы синусов.
Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $
Эта теорема позволяет выразить одну сторону, если известны другая сторона и два угла. Например, чтобы выразить сторону $a$ (BC):
- Через сторону $b$ (AC) и углы $A$ и $B$: из пропорции $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $ следует $ a = b \cdot \frac{\sin A}{\sin B} $.
- Через сторону $c$ (AB) и углы $A$ и $C$: из пропорции $ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} $ следует $ a = c \cdot \frac{\sin A}{\sin C} $.
Аналогично можно выразить любую другую сторону.

2. Использование теоремы косинусов.
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора и гласит, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $
Эта теорема позволяет выразить одну сторону, если известны две другие стороны и угол между ними. Например, чтобы выразить сторону $a$ (BC), зная стороны $b$ (AC), $c$ (AB) и угол $A$:$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cos A} $
Аналогичные формулы можно записать для сторон $b$ и $c$:
- $ b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac \cos B} $
- $ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos C} $

Ответ: Стороны треугольника можно выразить через другие его элементы с помощью теоремы синусов (если известны два угла и одна сторона) или теоремы косинусов (если известны две стороны и угол между ними).

52. Для треугольника $\text{ABC}$ попробуйте выразить сторону $\text{AC}$ через сторону $\text{BC}$ и углы $A$ и $B$ этого треугольника.

Для того чтобы выразить сторону AC треугольника ABC через сторону BC и углы A и B, необходимо воспользоваться теоремой синусов.

Теорема синусов утверждает, что для любого треугольника отношение длин его сторон к синусам противолежащих им углов является величиной постоянной. Для треугольника ABC с углами A, B, C и сторонами a, b, c, лежащими напротив этих углов соответственно (то есть, $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), теорема синусов имеет вид:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В нашей задаче требуется связать стороны AC и BC с углами A и B. Сторона AC лежит напротив угла B, а сторона BC — напротив угла A. Согласно теореме синусов, мы можем записать следующую пропорцию для этих элементов:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

Теперь из полученного равенства выразим сторону AC. Для этого необходимо умножить обе части равенства на $\sin B$:

$AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A}$

Это и есть искомое выражение для стороны AC через сторону BC и углы A и B.

Ответ: $AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A}$