Страница 80 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. На рисунке 14.10 $CE = 4$, $DE = 6$, $AE = 12$, $AB$ параллельна $CD$. Найдите $BE$.

Рис. 14.10

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCE$.

По условию задачи, отрезок $AB$ параллелен отрезку $CD$ ($AB \parallel CD$). Это означает, что мы имеем дело с двумя треугольниками, образованными пересечением двух прямых ($AD$ и $BC$) и двумя параллельными прямыми ($AB$ и $CD$).

1. Углы $\angle AEB$ и $\angle CED$ равны, так как они являются вертикальными.

2. Углы $\angle BAE$ и $\angle CDE$ равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AD$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCE$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Соответственными являются стороны, лежащие напротив равных углов. Таким образом, мы можем записать отношение: $ \frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE} $

Подставим в это уравнение известные значения из условия задачи: $AE = 12$, $DE = 6$, $CE = 4$. $ \frac{12}{6} = \frac{BE}{4} $

Упростим левую часть равенства: $ 2 = \frac{BE}{4} $

Чтобы найти $BE$, умножим обе части уравнения на 4: $ BE = 2 \times 4 $ $ BE = 8 $

Ответ: 8.

17. На рисунке 14.10 $DE = 6$, $AB = 10$, $AE = 12$, $AB$ параллельна $CD$. Найдите $CD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCE$. По условию задачи, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$). Будем считать, что точка $E$ является точкой пересечения прямых $AD$ и $BC$, которые выступают в роли секущих для параллельных прямых $AB$ и $CD$.

Так как треугольники образованы параллельными прямыми и секущими, они являются подобными. Докажем это по первому признаку подобия треугольников (по двум углам):

1. Углы $\angle AEB$ и $\angle DEC$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AD$ и $BC$.

2. Углы $\angle BAE$ (или $\angle EAB$) и $\angle CDE$ (или $\angle EDC$) равны, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AD$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны: $\triangle ABE \sim \triangle DCE$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон. Сторона $AE$ треугольника $\triangle ABE$ соответствует стороне $DE$ треугольника $\triangle DCE$, а сторона $AB$ соответствует стороне $DC$. Запишем соотношение для этих пар сторон:

$\frac{AE}{DE} = \frac{AB}{DC}$

Подставим в это равенство известные значения из условия задачи: $AE = 12$, $DE = 6$ и $AB = 10$.

$\frac{12}{6} = \frac{10}{CD}$

Упростим левую часть пропорции:

$2 = \frac{10}{CD}$

Теперь из этого уравнения найдем длину неизвестной стороны $CD$:

$2 \cdot CD = 10$

$CD = \frac{10}{2}$

$CD = 5$

Ответ: $5$.

18. Используя данные, приведенные на рисунке 14.11, найдите расстояние $AB$ от лодки $A$ до берега.

Рис. 14.11

Для того чтобы найти расстояние AB от лодки A до берега, мы можем использовать метод подобия треугольников. Рассмотрим два треугольника, которые видны на рисунке: $\triangle ABC$ и $\triangle EDC$.

Установим подобие этих треугольников:

1. Угол $\angle ABC$ является прямым ($\angle ABC = 90^{\circ}$), так как AB — это перпендикулярное расстояние от точки A до прямой (берега), на которой лежат точки D, C, B.

2. Угол $\angle CDE$ также является прямым ($\angle CDE = 90^{\circ}$), что обозначено на рисунке.

3. Углы $\angle ACB$ и $\angle ECD$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle ACB = \angle ECD$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle EDC$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Запишем это как $\triangle ABC \sim \triangle EDC$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Соответствующими сторонами являются те, что лежат напротив равных углов. Таким образом, мы можем составить пропорцию:

$\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DC}$

Согласно данным на рисунке, мы имеем следующие длины сторон: $ED = 10$ м, $BC = 10$ м и $DC = 1$ м.

Подставим эти значения в нашу пропорцию, чтобы найти неизвестную длину AB:

$\frac{AB}{10} = \frac{10}{1}$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти AB:

$AB = 10 \cdot \frac{10}{1}$

$AB = 100$ м

Ответ: 100 м.

19. Используя данные, приведенные на рисунке 14.12, найдите ширину AB озера.

Рис. 14.12

Для нахождения ширины озера $AB$ рассмотрим два треугольника, изображенных на рисунке: $\triangle ABC$ и $\triangle EDC$.

Из рисунка видно, что:

1. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EDC$ имеют общий острый угол $\angle C$.

2. Угол $\angle CAB$ в треугольнике $\triangle ABC$ является прямым ($\angle CAB = 90^\circ$).

3. Угол $\angle CDE$ в треугольнике $\triangle EDC$ является прямым ($\angle CDE = 90^\circ$).

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle C$ — общий, $\angle CAB = \angle CDE = 90^\circ$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). То есть, $\triangle ABC \sim \triangle EDC$.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DC}$

Нам известны следующие длины из условия:

$DE = 3$ м

$DC = 1$ м

$AD = 9$ м

Длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DC$:

$AC = AD + DC = 9 \text{ м} + 1 \text{ м} = 10 \text{ м}$

Теперь подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{AB}{3} = \frac{10}{1}$

Отсюда находим длину $AB$:

$AB = 3 \times 10$

$AB = 30$ м

Таким образом, ширина озера составляет 30 метров.

Ответ: 30 м.

20. Используя данные, приведенные на рисунке 14.13, найдите ширину $AB$ реки.

Рис. 14.13

Для того чтобы найти ширину реки AB, мы можем использовать свойство подобных треугольников.

Рассмотрим два треугольника, изображенных на рисунке: $ \triangle ABC $ и $ \triangle EDC $.

1. Оба треугольника являются прямоугольными. Из рисунка видно, что $ \angle BAC = 90^\circ $ и $ \angle DEC = 90^\circ $.

2. Углы $ \angle ACB $ и $ \angle ECD $ являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых (AE и BD). Следовательно, эти углы равны: $ \angle ACB = \angle ECD $.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle EDC $ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. Составим пропорцию, используя катеты обоих треугольников:

$ \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{EC} $

Теперь подставим в эту пропорцию известные значения из рисунка:

$ AC = 20 $ м

$ EC = 2 $ м

$ DE = 1 $ м

Получаем следующее уравнение:

$ \frac{AB}{1} = \frac{20}{2} $

Решая это уравнение, находим AB:

$ AB = \frac{20}{2} $

$ AB = 10 $ м

Ответ: ширина реки AB равна 10 м.

21. Стороны треугольника относятся как 5 : 3 : 7. Найдите стороны подобного ему треугольника, у которого:

a) периметр равен 45 см;

б) меньшая сторона равна 5 см;

в) большая сторона равна 7 см.

Поскольку искомый треугольник подобен данному, отношение его сторон также равно $5:3:7$. Обозначим стороны искомого треугольника как $5x$, $3x$ и $7x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности. Найдем $x$ и стороны треугольника для каждого случая.

а) Периметр треугольника равен сумме его сторон: $P = 5x + 3x + 7x = 15x$. По условию, $P = 45$ см, значит, мы можем составить уравнение: $15x = 45$. Отсюда находим коэффициент пропорциональности: $x = 45 / 15 = 3$. Теперь вычислим длины сторон: первая сторона равна $5 \cdot 3 = 15$ см, вторая — $3 \cdot 3 = 9$ см, третья — $7 \cdot 3 = 21$ см. Ответ: 15 см, 9 см, 21 см.

б) Из отношения $5:3:7$ видно, что наименьшая сторона соответствует части, равной 3. По условию, ее длина составляет 5 см. Составим уравнение: $3x = 5$. Отсюда коэффициент пропорциональности $x = 5/3$. Найдем остальные стороны: первая сторона равна $5x = 5 \cdot (5/3) = 25/3 = 8 \frac{1}{3}$ см, а третья сторона равна $7x = 7 \cdot (5/3) = 35/3 = 11 \frac{2}{3}$ см. Таким образом, стороны треугольника равны $8 \frac{1}{3}$ см, 5 см и $11 \frac{2}{3}$ см. Ответ: $8 \frac{1}{3}$ см, 5 см, $11 \frac{2}{3}$ см.

в) Из отношения $5:3:7$ видно, что наибольшая сторона соответствует части, равной 7. По условию, ее длина составляет 7 см. Составим уравнение: $7x = 7$. Отсюда коэффициент пропорциональности $x = 7/7 = 1$. Тогда стороны треугольника равны: $5x = 5 \cdot 1 = 5$ см, $3x = 3 \cdot 1 = 3$ см, и $7x = 7 \cdot 1 = 7$ см. Ответ: 5 см, 3 см, 7 см.