Страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какое преобразование плоскости называется подобием?

2. Что называется коэффициентом подобия?

3. Какое преобразование плоскости называется гомотетией?

4. Что называется центром и коэффициентом гомотетии?

5. Сформулируйте свойства подобия.

6. Как связаны между собой площади подобных фигур?

1. Какое преобразование плоскости называется подобием?
Преобразование фигуры $F$ в фигуру $F'$, при котором для любых двух точек $M$ и $N$ фигуры $F$ и их образов $M'$ и $N'$ фигуры $F'$ выполняется соотношение $M'N' = k \cdot MN$, называется преобразованием подобия. Здесь $k$ — это некоторое положительное число, которое называется коэффициентом подобия. Иначе говоря, подобие — это преобразование, которое изменяет все расстояния в одно и то же число раз.
Ответ: Преобразованием подобия называется преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в одно и то же число раз $k > 0$.

2. Что называется коэффициентом подобия?
Коэффициентом подобия называется положительное число $k$, показывающее, во сколько раз изменяются расстояния между точками при преобразовании подобия. Если $M$ и $N$ — произвольные точки плоскости, а $M'$ и $N'$ — их образы при преобразовании подобия, то коэффициент подобия $k$ находится из соотношения $k = \frac{M'N'}{MN}$. Если $k > 1$, происходит увеличение (растяжение). Если $0 < k < 1$, происходит уменьшение (сжатие). Если $k = 1$, преобразование подобия является движением (изометрией).
Ответ: Коэффициентом подобия называется число $k > 0$, равное отношению расстояния между образами двух точек к расстоянию между самими точками.

3. Какое преобразование плоскости называется гомотетией?
Гомотетией с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ ($k \ne 0$) называется преобразование плоскости, которое переводит каждую точку $M$ в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Это означает, что точки $O$, $M$ и $M'$ лежат на одной прямой. При $k>0$ точки $M$ и $M'$ лежат по одну сторону от центра $O$, а при $k<0$ — по разные стороны. Гомотетия является частным случаем преобразования подобия.
Ответ: Гомотетия — это преобразование плоскости относительно центра $O$, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$, лежащую на прямой $OM$, так, что $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $k$ — ненулевое число.

4. Что называется центром и коэффициентом гомотетии?
Центр гомотетии — это единственная неподвижная точка $O$ на плоскости (если $k \ne 1$), относительно которой происходит преобразование. Все прямые, соединяющие исходную точку $M$ и ее образ $M'$, проходят через центр гомотетии $O$.
Коэффициент гомотетии — это ненулевое число $k$, которое определяет масштаб и направление преобразования. Величина $|k|$ показывает, во сколько раз расстояние от центра до образа точки отличается от расстояния от центра до исходной точки ($OM' = |k| \cdot OM$), а знак $k$ определяет, будет ли образ $M'$ лежать на луче $OM$ (если $k>0$) или на его дополнении (если $k<0$).
Ответ: Центр гомотетии — это неподвижная точка, из которой "исходят" лучи преобразования. Коэффициент гомотетии — это ненулевое число $k$, определяющее масштаб и направление преобразования для каждой точки.

5. Сформулируйте свойства подобия.
Основные свойства преобразования подобия:
1. Преобразование подобия переводит прямые в прямые, лучи в лучи, отрезки в отрезки.
2. Преобразование подобия сохраняет углы между лучами.
3. Любая фигура переводится в подобную ей фигуру.
4. Композиция (последовательное применение) двух преобразований подобия с коэффициентами $k_1$ и $k_2$ является преобразованием подобия с коэффициентом $k = k_1 \cdot k_2$.
5. Преобразование, обратное преобразованию подобия с коэффициентом $k$, также является преобразованием подобия с коэффициентом $\frac{1}{k}$.
Ответ: Подобие переводит прямые в прямые, сохраняет углы, переводит фигуры в подобные им, а отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

6. Как связаны между собой площади подобных фигур?
Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Если фигура $F_1$ подобна фигуре $F_2$ с коэффициентом подобия $k$, а их площади равны $S_1$ и $S_2$ соответственно, то их отношение выражается формулой: $\frac{S_2}{S_1} = k^2$. Это свойство следует из того, что при подобии все линейные размеры фигуры (длины, высоты, медианы и т.д.) умножаются на $k$, а площадь, имеющая размерность квадрата длины, изменяется в $k \cdot k = k^2$ раз.
Ответ: Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($S'/S = k^2$).

1. Стороны треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, если коэффициент подобия равен:

а) 2;

б) 3;

в) 0,5.

По определению подобных треугольников, отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия. Пусть стороны исходного треугольника равны $a_1 = 3$ см, $b_1 = 4$ см и $c_1 = 5$ см. Чтобы найти стороны подобного ему треугольника ($a_2, b_2, c_2$), нужно каждую сторону исходного треугольника умножить на коэффициент подобия $k$.

а) При коэффициенте подобия $k = 2$ стороны нового треугольника будут:
$a_2 = k \cdot a_1 = 2 \cdot 3 = 6$ см
$b_2 = k \cdot b_1 = 2 \cdot 4 = 8$ см
$c_2 = k \cdot c_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см
Ответ: 6 см, 8 см, 10 см.

б) При коэффициенте подобия $k = 3$ стороны нового треугольника будут:
$a_2 = k \cdot a_1 = 3 \cdot 3 = 9$ см
$b_2 = k \cdot b_1 = 3 \cdot 4 = 12$ см
$c_2 = k \cdot c_1 = 3 \cdot 5 = 15$ см
Ответ: 9 см, 12 см, 15 см.

в) При коэффициенте подобия $k = 0,5$ стороны нового треугольника будут:
$a_2 = k \cdot a_1 = 0,5 \cdot 3 = 1,5$ см
$b_2 = k \cdot b_1 = 0,5 \cdot 4 = 2$ см
$c_2 = k \cdot c_1 = 0,5 \cdot 5 = 2,5$ см
Ответ: 1,5 см, 2 см, 2,5 см.

2. Стороны треугольника равны 4 см, 6 см и 8 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, если его большая сторона равна 4 см.

Пусть дан треугольник $T_1$ со сторонами $a_1 = 4$ см, $b_1 = 6$ см и $c_1 = 8$ см. Пусть треугольник $T_2$ со сторонами $a_2, b_2, c_2$ подобен треугольнику $T_1$.

У подобных треугольников отношение длин соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$. Это значит, что:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

Сначала определим, какая сторона в исходном треугольнике $T_1$ является наибольшей. Сравнивая длины сторон 4 см, 6 см и 8 см, мы видим, что наибольшая сторона - это $c_1 = 8$ см.

По условию задачи, наибольшая сторона подобного треугольника $T_2$ равна 4 см. В подобных треугольниках наибольшая сторона одного треугольника соответствует наибольшей стороне другого. Следовательно, $c_2 = 4$ см.

Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$, используя отношение длин наибольших сторон:

$k = \frac{c_2}{c_1} = \frac{4 \text{ см}}{8 \text{ см}} = \frac{1}{2}$

Зная коэффициент подобия, мы можем вычислить длины двух других сторон треугольника $T_2$.

Сторона $a_2$ соответствует стороне $a_1 = 4$ см:

$a_2 = k \cdot a_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Сторона $b_2$ соответствует стороне $b_1 = 6$ см:

$b_2 = k \cdot b_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} = 3 \text{ см}$

Таким образом, стороны подобного треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см.

Ответ: 2 см, 3 см, 4 см.

3. Изобразите треугольник, полученный гомотетией треугольника $ABC$ относительно центра $A$ с коэффициентом 2 (рис. 13.6).

a)

б)

Рис. 13.6

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$, такую, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — фиксированная точка, называемая центром гомотетии, а $k$ — число, называемое коэффициентом гомотетии.

В данной задаче необходимо построить треугольники, полученные гомотетией исходных треугольников $ABC$ относительно центра в точке $A$ с коэффициентом $k=2$.

Это означает, что для каждой вершины треугольника, например, $B$, ее образ $B'$ будет лежать на луче $AB$, и расстояние $AB'$ будет в 2 раза больше расстояния $AB$. То же самое относится и к вершине $C$. Поскольку центр гомотетии совпадает с вершиной $A$, точка $A$ переходит сама в себя.

а)

1. Находим образ точки B (B'). От точки A до точки B нужно сместиться на 2 клетки вправо. Чтобы найти точку B', нужно удвоить это смещение: $2 \times 2 = 4$ клетки вправо от A.

2. Находим образ точки C (C'). От точки A до точки C нужно сместиться на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх. Чтобы найти точку C', удваиваем эти смещения: $1 \times 2 = 2$ клетки вправо и $2 \times 2 = 4$ клетки вверх от A.

3. Строим новый треугольник. Соединяем точки A, B' и C'. Полученный треугольник $AB'C'$ является образом треугольника $ABC$ при данной гомотетии.

Ответ: Изображение искомого треугольника $AB'C'$ показано на рисунке красным цветом.

б)

1. Находим образ точки B (B'). От точки A до точки B нужно сместиться на 3 клетки вправо и 1 клетку вниз. Удваиваем смещения: $3 \times 2 = 6$ клеток вправо и $1 \times 2 = 2$ клетки вниз от A.

2. Находим образ точки C (C'). От точки A до точки C нужно сместиться на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх. Удваиваем смещения: $1 \times 2 = 2$ клетки вправо и $2 \times 2 = 4$ клетки вверх от A.

3. Строим новый треугольник. Соединяем точки A, B' и C', чтобы получить искомый треугольник $AB'C'$.

Ответ: Изображение искомого треугольника $AB'C'$ показано на рисунке красным цветом.

4. Изобразите треугольник, полученный гомотетией треугольника $ABC$ относительно центра $O$ с коэффициентом $0.5$ (рис. 13.7).

а)

б)

Рис. 13.7

Гомотетия с центром O и коэффициентом $k$ — это преобразование, при котором каждая точка M переходит в такую точку M₁, что выполняется векторное равенство $\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$.

В данной задаче коэффициент гомотетии $k = 0,5$. Это означает, что для любой точки M её образ M₁ будет являться серединой отрезка OM. Чтобы построить треугольник A₁B₁C₁, гомотетичный треугольнику ABC, нужно найти образы его вершин A, B, C, которые будут серединами отрезков OA, OB и OC соответственно, и затем соединить полученные точки.

а)

Для нахождения вершин искомого треугольника A₁B₁C₁ определим положение вершин A, B, C относительно центра O, приняв O за начало координат (0,0). Одна клетка сетки соответствует единице длины. Вершина A имеет координаты $(-3, -1)$ относительно точки O (смещение на 3 клетки влево и 1 клетку вниз). Вершина B имеет координаты $(3, -1)$ относительно точки O (смещение на 3 клетки вправо и 1 клетку вниз). Вершина C имеет координаты $(0, 2)$ относительно точки O (смещение на 2 клетки вверх).

Координаты вершин гомотетичного треугольника A₁B₁C₁ находим, умножая координаты вершин A, B, C на коэффициент $k=0,5$:
Координаты A₁: $(-3 \cdot 0,5; -1 \cdot 0,5) = (-1,5; -0,5)$. Это означает, что точка A₁ смещена от O на 1,5 клетки влево и 0,5 клетки вниз.
Координаты B₁: $(3 \cdot 0,5; -1 \cdot 0,5) = (1,5; -0,5)$. Это означает, что точка B₁ смещена от O на 1,5 клетки вправо и 0,5 клетки вниз.
Координаты C₁: $(0 \cdot 0,5; 2 \cdot 0,5) = (0; 1)$. Это означает, что точка C₁ смещена от O на 1 клетку вверх.

Соединив точки A₁, B₁, C₁ отрезками, получаем искомый треугольник.

Ответ: Искомый треугольник A₁B₁C₁ — это треугольник с вершинами в серединах отрезков OA, OB и OC. Его можно построить, отметив точки A₁, B₁, C₁ согласно их смещению от центра O: A₁(-1.5, -0.5), B₁(1.5, -0.5), C₁(0, 1), где координаты даны в системе с началом в точке O.

б)

Действуем аналогично пункту а). Примем центр гомотетии O за начало координат (0,0) и определим координаты вершин треугольника ABC относительно этой точки. Вершина A имеет координаты $(-3, 1)$ относительно точки O (смещение на 3 клетки влево и 1 клетку вверх). Вершина B имеет координаты $(2, -1)$ относительно точки O (смещение на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз). Вершина C имеет координаты $(0, 2)$ относительно точки O (смещение на 2 клетки вверх).

Находим координаты вершин A₁, B₁, C₁ нового треугольника, умножая координаты вершин A, B, C на коэффициент $k=0,5$:
Координаты A₁: $(-3 \cdot 0,5; 1 \cdot 0,5) = (-1,5; 0,5)$. Точка A₁ смещена от O на 1,5 клетки влево и 0,5 клетки вверх.
Координаты B₁: $(2 \cdot 0,5; -1 \cdot 0,5) = (1; -0,5)$. Точка B₁ смещена от O на 1 клетку вправо и 0,5 клетки вниз.
Координаты C₁: $(0 \cdot 0,5; 2 \cdot 0,5) = (0; 1)$. Точка C₁ смещена от O на 1 клетку вверх.

Соединив точки A₁, B₁, C₁ отрезками, получаем искомый треугольник A₁B₁C₁.

Ответ: Искомый треугольник A₁B₁C₁ имеет вершины в точках, являющихся серединами отрезков OA, OB и OC. Его можно построить, отметив вершины A₁, B₁, C₁ по их координатам относительно центра O: A₁(-1.5, 0.5), B₁(1, -0.5), C₁(0, 1).