Страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. На рисунке 14.8 найдите неизвестный катет.

а)

б)

Рис. 14.8

а)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, изображенных на рисунке. Обозначим левый треугольник как $T_1$, а правый — как $T_2$. Катеты треугольника $T_1$ равны 15 (вертикальный) и 10 (горизонтальный). Катеты треугольника $T_2$ равны $x$ (неизвестный вертикальный) и 14 (горизонтальный). Горизонтальные катеты лежат на одной прямой, а их общая вершина является точкой пересечения гипотенуз. Угол между гипотенузами по условию равен $90^\circ$.

Пусть $\alpha$ — острый угол в треугольнике $T_1$, прилежащий к гипотенузе и горизонтальному катету. Тогда второй острый угол в $T_1$ равен $90^\circ - \alpha$. Угол, смежный с углом $\alpha$ и прямым углом между гипотенузами, является острым углом в треугольнике $T_2$. Обозначим его $\beta$. Так как эти три угла ($\alpha$, $90^\circ$ и $\beta$) образуют развернутый угол, их сумма равна $180^\circ$.

$\alpha + 90^\circ + \beta = 180^\circ$

Из этого уравнения находим $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Таким образом, острые углы в треугольнике $T_2$ равны $\beta = 90^\circ - \alpha$ и $90^\circ - \beta = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Поскольку оба треугольника имеют одинаковый набор углов ($90^\circ, \alpha, 90^\circ - \alpha$), они подобны. Составим пропорцию, приравнивая отношения соответственных катетов. Катет, противолежащий углу $\alpha$ в $T_1$ (вертикальный, равный 15), относится к катету, противолежащему углу $\alpha$ в $T_2$ (горизонтальный, равный 14), так же как катет, противолежащий углу $90^\circ - \alpha$ в $T_1$ (горизонтальный, равный 10), относится к катету, противолежащему углу $90^\circ - \alpha$ в $T_2$ (вертикальный, равный $x$).

Получаем пропорцию:

$\frac{15}{14} = \frac{10}{x}$

Решим это уравнение относительно $x$:

$15x = 14 \cdot 10$

$15x = 140$

$x = \frac{140}{15}$

Сократив дробь на 5, получаем:

$x = \frac{28}{3}$

Ответ: $x = \frac{28}{3}$.

б)

Решение для этого случая полностью аналогично предыдущему. Левый треугольник $T_1$ имеет катеты 4 (вертикальный) и 8 (горизонтальный). Правый треугольник $T_2$ имеет катеты $x$ (неизвестный вертикальный) и 5 (горизонтальный). Как было доказано в пункте а), эти треугольники подобны.

Составим пропорцию для соответственных катетов. Катет, противолежащий углу $\alpha$ в $T_1$ (вертикальный, равный 4), относится к катету, противолежащему углу $\alpha$ в $T_2$ (горизонтальный, равный 5), так же как катет, противолежащий углу $90^\circ - \alpha$ в $T_1$ (горизонтальный, равный 8), относится к катету, противолежащему углу $90^\circ - \alpha$ в $T_2$ (вертикальный, равный $x$).

Пропорция имеет вид:

$\frac{4}{5} = \frac{8}{x}$

Решим уравнение:

$4x = 8 \cdot 5$

$4x = 40$

$x = \frac{40}{4} = 10$

Ответ: $x = 10$.

8. В подобных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$, $AB = 8 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, $A_1B_1 = 5,6 \text{ см}$, $A_1C_1 = 10,5 \text{ см}$. Найдите $AC$ и $B_1C_1$.

Поскольку треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, их соответственные стороны пропорциональны. Это означает, что отношение длин соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$.

Соотношение сторон можно записать в виде пропорции:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Сначала найдем коэффициент подобия $k$, используя известные длины соответственных сторон $AB$ и $A_1B_1$.

$k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{8}{5,6}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$k = \frac{8 \cdot 10}{5,6 \cdot 10} = \frac{80}{56}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8:

$k = \frac{80 \div 8}{56 \div 8} = \frac{10}{7}$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длины неизвестных сторон.

Нахождение AC:

Используем часть пропорции, связывающую стороны $AC$ и $A_1C_1$:

$\frac{AC}{A_1C_1} = k$

Подставим известные значения $A_1C_1 = 10,5$ см и $k = \frac{10}{7}$:

$\frac{AC}{10,5} = \frac{10}{7}$

Выразим $AC$ из этой пропорции:

$AC = \frac{10}{7} \cdot 10,5 = \frac{10 \cdot 10,5}{7} = \frac{105}{7} = 15$ см.

Нахождение B₁C₁:

Используем часть пропорции, связывающую стороны $BC$ и $B_1C_1$:

$\frac{BC}{B_1C_1} = k$

Подставим известные значения $BC = 10$ см и $k = \frac{10}{7}$:

$\frac{10}{B_1C_1} = \frac{10}{7}$

Из этого равенства следует, что если числители равны, то и знаменатели должны быть равны:

$B_1C_1 = 7$ см.

Ответ: $AC = 15$ см, $B_1C_1 = 7$ см.

9. У треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $AB = 5$ м, $BC = 7$ м, $A_1B_1 = 10$ м, $A_1C_1 = 8$ м. Найдите остальные стороны треугольников.

По условию задачи даны два треугольника, $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Согласно признаку подобия треугольников по двум углам (первый признак), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Соотношение сторон можно записать в виде пропорции, где $k$ – коэффициент подобия:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Используя известные длины соответственных сторон $AB = 5$ м и $A_1B_1 = 10$ м, мы можем вычислить коэффициент подобия:

$k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длины оставшихся сторон.

Найдем сторону $AC$. Она соответствует стороне $A_1C_1$. Из пропорции $\frac{AC}{A_1C_1} = k$, подставив известные значения $A_1C_1 = 8$ м и $k = \frac{1}{2}$, получаем:

$AC = k \cdot A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ м.

Найдем сторону $B_1C_1$. Она соответствует стороне $BC$. Из пропорции $\frac{BC}{B_1C_1} = k$, подставив известные значения $BC = 7$ м и $k = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{7}{B_1C_1} = \frac{1}{2}$

Выразим $B_1C_1$ из этого уравнения:

$B_1C_1 = \frac{7}{k} = \frac{7}{\frac{1}{2}} = 7 \cdot 2 = 14$ м.

Ответ: $AC = 4$ м, $B_1C_1 = 14$ м.

10. Стороны одного треугольника $4 \text{ дм}$, $3.6 \text{ дм}$ и $1.5 \text{ дм}$. Найдите стороны другого треугольника, подобного данному, если коэффициент подобия равен $1.6$.

Пусть стороны первого треугольника равны $a_1, b_1, c_1$, а стороны второго, подобного ему, треугольника — $a_2, b_2, c_2$.

Из условия задачи нам даны стороны первого треугольника:
$a_1 = 4$ дм
$b_1 = 3,6$ дм
$c_1 = 1,5$ дм
и коэффициент подобия $k = 1,6$.

По определению подобных треугольников, отношение длин соответственных сторон равно коэффициенту подобия:
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

Чтобы найти стороны второго треугольника, нужно умножить соответствующие стороны первого треугольника на коэффициент подобия $k$.
Вычислим длину каждой стороны второго треугольника:
$a_2 = a_1 \cdot k = 4 \cdot 1,6 = 6,4$ дм.
$b_2 = b_1 \cdot k = 3,6 \cdot 1,6 = 5,76$ дм.
$c_2 = c_1 \cdot k = 1,5 \cdot 1,6 = 2,4$ дм.

Ответ: стороны другого треугольника равны 6,4 дм, 5,76 дм и 2,4 дм.

11. Стороны одного треугольника равны 8 см, 6 см и 5 см. Меньшая сторона второго треугольника, подобного первому, равна 2,5 см. Найдите другие стороны второго треугольника.

Пусть стороны первого треугольника равны $a_1 = 8$ см, $b_1 = 6$ см и $c_1 = 5$ см. Поскольку второй треугольник подобен первому, отношение их соответственных сторон постоянно. Это отношение называется коэффициентом подобия, обозначим его $k$.

Чтобы найти соответственные стороны, необходимо сопоставить их по величине (меньшую с меньшей, среднюю со средней, большую с большой). Упорядочим стороны первого треугольника по возрастанию: $5$ см, $6$ см, $8$ см.

Меньшая сторона первого треугольника равна $5$ см. По условию, меньшая сторона второго треугольника равна $2,5$ см. Эта сторона соответствует меньшей стороне первого треугольника.

Найдем коэффициент подобия $k$ как отношение длин этих соответственных сторон:
$ k = \frac{2,5 \text{ см}}{5 \text{ см}} = 0,5 $

Теперь мы можем вычислить длины двух других сторон второго треугольника, умножив длины соответствующих сторон первого треугольника на коэффициент подобия $k$.

Вторая сторона второго треугольника, соответствующая стороне $6$ см первого треугольника, равна:
$6 \text{ см} \cdot k = 6 \cdot 0,5 = 3 \text{ см}$

Третья (наибольшая) сторона второго треугольника, соответствующая стороне $8$ см первого треугольника, равна:
$8 \text{ см} \cdot k = 8 \cdot 0,5 = 4 \text{ см}$

Ответ: другие стороны второго треугольника равны 3 см и 4 см.

Найдите другие стороны второго треугольника.

12. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $\angle A = \angle A_1$, $AB = 4$, $AC = 6$, $BC = 5$, $A_1B_1 = 6$, $A_1C_1 = 9$. Найдите сторону $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи, нам известно, что $\angle A = \angle A_1$. Также даны длины сторон: $AB = 4$, $AC = 6$, $BC = 5$ для треугольника $ABC$, и $A_1B_1 = 6$, $A_1C_1 = 9$ для треугольника $A_1B_1C_1$.

Проверим, являются ли треугольники подобными по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними). Для этого необходимо, чтобы две стороны одного треугольника были пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, были равны.

Условие равенства углов ($\angle A = \angle A_1$) выполняется. Теперь найдем отношение длин соответственных сторон, прилежащих к этим углам:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Поскольку отношения соответственных сторон равны ($\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC}$) и углы между ними равны, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$). Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{3}{2}$.

В подобных треугольниках отношение всех соответственных сторон равно коэффициенту подобия. Значит, отношение третьих сторон $B_1C_1$ и $BC$ также равно $k$:

$\frac{B_1C_1}{BC} = k$

Подставим известные значения и найдем длину стороны $B_1C_1$:

$B_1C_1 = BC \cdot k = 5 \cdot \frac{3}{2} = 7.5$

Ответ: 7.5

13. Подобны ли два треугольника, если их стороны имеют длины:

а) 4, 5, 6 и 8, 10, 12;

б) 3, 4, 6 и 9, 15, 18;

в) 1, 2, 2 и 1, 1, 0,5?

Два треугольника подобны по третьему признаку подобия (по трём сторонам), если их соответственные стороны пропорциональны. Это означает, что отношения длин соответственных сторон должны быть равны некоторому числу $k$ — коэффициенту подобия. Чтобы проверить это, нужно упорядочить стороны каждого треугольника (например, по возрастанию) и найти отношения длин соответственных сторон.

а) Даны два треугольника со сторонами 4, 5, 6 и 8, 10, 12.
Упорядочим стороны каждого треугольника по возрастанию. Они уже упорядочены:
Стороны первого треугольника: $a_1 = 4, b_1 = 5, c_1 = 6$.
Стороны второго треугольника: $a_2 = 8, b_2 = 10, c_2 = 12$.
Проверим пропорциональность сторон, найдя их отношения:
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{4} = 2$
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{5} = 2$
$\frac{c_2}{c_1} = \frac{12}{6} = 2$
Все отношения равны 2. Так как $\frac{8}{4} = \frac{10}{5} = \frac{12}{6} = 2$, стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны.
Ответ: да, подобны.

б) Даны два треугольника со сторонами 3, 4, 6 и 9, 15, 18.
Упорядочим стороны каждого треугольника по возрастанию. Они уже упорядочены:
Стороны первого треугольника: $a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = 6$.
Стороны второго треугольника: $a_2 = 9, b_2 = 15, c_2 = 18$.
Проверим пропорциональность сторон:
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{3} = 3$
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{15}{4} = 3.75$
$\frac{c_2}{c_1} = \frac{18}{6} = 3$
Так как отношения сторон не равны ($3 \ne 3.75$), стороны треугольников не являются пропорциональными. Следовательно, треугольники не подобны.
Ответ: нет, не подобны.

в) Даны два треугольника со сторонами 1, 2, 2 и 1, 1, 0,5.
Упорядочим стороны каждого треугольника по возрастанию:
Стороны первого треугольника: 1, 2, 2.
Стороны второго треугольника: 0,5, 1, 1.
Проверим пропорциональность сторон. Для этого найдем отношение соответственных сторон большего треугольника к сторонам меньшего.
Отношение наименьших сторон: $\frac{1}{0.5} = 2$
Отношение средних сторон: $\frac{2}{1} = 2$
Отношение наибольших сторон: $\frac{2}{1} = 2$
Все отношения равны 2. Так как $\frac{1}{0.5} = \frac{2}{1} = \frac{2}{1} = 2$, стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны.
Ответ: да, подобны.

14. На рисунке 14.9 $CE = 8$, $CD = 6$, $BC = 12$, угол $BAC$ равен углу $EDC$. Найдите $AC$.

Рис. 14.9

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DEC$.

1. Угол $C$ является общим для обоих треугольников ($\angle ACB = \angle DCE$).
2. Угол $BAC$ равен углу $EDC$ по условию задачи ($\angle BAC = \angle EDC$).

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Установим соответствие между вершинами подобных треугольников. Углу $A$ треугольника $ABC$ соответствует угол $D$ треугольника $DEC$. Общему углу $C$ соответствует угол $C$. Следовательно, третьему углу $B$ треугольника $ABC$ соответствует угол $E$ треугольника $DEC$. Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle DEC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон, то есть сторон, лежащих напротив равных углов:
$\frac{AC}{DC} = \frac{BC}{EC} = \frac{AB}{DE}$

Для нахождения длины стороны $AC$ воспользуемся равенством:
$\frac{AC}{DC} = \frac{BC}{EC}$

Подставим известные из условия значения: $CD = 6$, $BC = 12$, $CE = 8$.
$\frac{AC}{6} = \frac{12}{8}$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $AC$:
$AC = 6 \cdot \frac{12}{8} = \frac{72}{8} = 9$

Ответ: 9.

15. На рисунке 14.9 $DE = 10$, $CE = 8$, $BC = 12$, угол $\angle BAC$ равен углу $\angle EDC$. Найдите $AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$.

По условию задачи известно, что $\angle BAC = \angle EDC$.

Угол при вершине $C$, то есть $\angle ACB$, является общим для обоих треугольников ($\angle ACB = \angle DCE$).

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle DEC$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Соответствие вершин следующее: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow C$. Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle DEC$.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EC} = \frac{AC}{DC}$

Для нахождения стороны $AB$ воспользуемся частью пропорции со сторонами, длины которых известны:

$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EC}$

Подставим известные значения из условия: $DE = 10$, $CE = 8$ и $BC = 12$.

$\frac{AB}{10} = \frac{12}{8}$

Выразим $AB$ из данной пропорции:

$AB = 10 \cdot \frac{12}{8}$

Сократим дробь $\frac{12}{8}$ на 4:

$AB = 10 \cdot \frac{3}{2}$

$AB = \frac{30}{2} = 15$

Ответ: 15.