Номер 7, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. На рисунке 14.8 найдите неизвестный катет.

а)

б)

Рис. 14.8

а)

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, изображенных на рисунке. Обозначим левый треугольник как $T_1$, а правый — как $T_2$. Катеты треугольника $T_1$ равны 15 (вертикальный) и 10 (горизонтальный). Катеты треугольника $T_2$ равны $x$ (неизвестный вертикальный) и 14 (горизонтальный). Горизонтальные катеты лежат на одной прямой, а их общая вершина является точкой пересечения гипотенуз. Угол между гипотенузами по условию равен $90^\circ$.

Пусть $\alpha$ — острый угол в треугольнике $T_1$, прилежащий к гипотенузе и горизонтальному катету. Тогда второй острый угол в $T_1$ равен $90^\circ - \alpha$. Угол, смежный с углом $\alpha$ и прямым углом между гипотенузами, является острым углом в треугольнике $T_2$. Обозначим его $\beta$. Так как эти три угла ($\alpha$, $90^\circ$ и $\beta$) образуют развернутый угол, их сумма равна $180^\circ$.

$\alpha + 90^\circ + \beta = 180^\circ$

Из этого уравнения находим $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Таким образом, острые углы в треугольнике $T_2$ равны $\beta = 90^\circ - \alpha$ и $90^\circ - \beta = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Поскольку оба треугольника имеют одинаковый набор углов ($90^\circ, \alpha, 90^\circ - \alpha$), они подобны. Составим пропорцию, приравнивая отношения соответственных катетов. Катет, противолежащий углу $\alpha$ в $T_1$ (вертикальный, равный 15), относится к катету, противолежащему углу $\alpha$ в $T_2$ (горизонтальный, равный 14), так же как катет, противолежащий углу $90^\circ - \alpha$ в $T_1$ (горизонтальный, равный 10), относится к катету, противолежащему углу $90^\circ - \alpha$ в $T_2$ (вертикальный, равный $x$).

Получаем пропорцию:

$\frac{15}{14} = \frac{10}{x}$

Решим это уравнение относительно $x$:

$15x = 14 \cdot 10$

$15x = 140$

$x = \frac{140}{15}$

Сократив дробь на 5, получаем:

$x = \frac{28}{3}$

Ответ: $x = \frac{28}{3}$.

б)

Решение для этого случая полностью аналогично предыдущему. Левый треугольник $T_1$ имеет катеты 4 (вертикальный) и 8 (горизонтальный). Правый треугольник $T_2$ имеет катеты $x$ (неизвестный вертикальный) и 5 (горизонтальный). Как было доказано в пункте а), эти треугольники подобны.

Составим пропорцию для соответственных катетов. Катет, противолежащий углу $\alpha$ в $T_1$ (вертикальный, равный 4), относится к катету, противолежащему углу $\alpha$ в $T_2$ (горизонтальный, равный 5), так же как катет, противолежащий углу $90^\circ - \alpha$ в $T_1$ (горизонтальный, равный 8), относится к катету, противолежащему углу $90^\circ - \alpha$ в $T_2$ (вертикальный, равный $x$).

Пропорция имеет вид:

$\frac{4}{5} = \frac{8}{x}$

Решим уравнение:

$4x = 8 \cdot 5$

$4x = 40$

$x = \frac{40}{4} = 10$

Ответ: $x = 10$.