Номер 1, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Подобны ли любые два:

а) равносторонних треугольника;

б) равнобедренных треугольника;

в) равнобедренных прямоугольных треугольника?

Для решения задачи воспользуемся признаками подобия треугольников. Два треугольника подобны, если выполняется одно из условий:
1. Два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого (признак по двум углам).
2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны (признак по двум сторонам и углу между ними).
3. Три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого (признак по трем сторонам).

а) равносторонних треугольника

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Следствием этого является то, что все углы в таком треугольнике также равны. Так как сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, то каждый угол равностороннего треугольника равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.
Таким образом, у любых двух равносторонних треугольников все углы будут одинаковы и равны $60^\circ$. Согласно первому признаку подобия (по двум углам), любые два равносторонних треугольника подобны.
Ответ: да, любые два равносторонних треугольника подобны.

б) равнобедренных треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. У такого треугольника углы при основании также равны. Однако величина этих углов может быть разной. Для подобия двух равнобедренных треугольников необходимо, чтобы их соответствующие углы были равны.
Рассмотрим два равнобедренных треугольника.
Треугольник 1: угол при вершине равен $40^\circ$. Тогда углы при основании равны $(180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.
Треугольник 2: угол при вершине равен $80^\circ$. Тогда углы при основании равны $(180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$. Углы этого треугольника: $80^\circ, 50^\circ, 50^\circ$.
Поскольку углы этих двух треугольников не равны, они не являются подобными. Следовательно, не любые два равнобедренных треугольника подобны.
Ответ: нет, не любые два равнобедренных треугольника подобны.

в) равнобедренных прямоугольных треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой ($90^\circ$). Если такой треугольник является равнобедренным, то его равные стороны — это катеты. Углы, противолежащие равным сторонам (катетам), также равны.
Пусть в равнобедренном прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Сумма двух других острых углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Так как эти два угла равны, то каждый из них равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.
Таким образом, у любого равнобедренного прямоугольного треугольника углы всегда равны $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$.
Поскольку у любых двух равнобедренных прямоугольных треугольников все три угла соответственно равны, они подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
Ответ: да, любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.