Номер 16, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $a$ и $b$. Каким должен быть отрезок $EF$, параллельный основаниям и делящий эту трапецию на две подобные трапеции (рис. 13.11)?

Рис. 13.11

Пусть основания трапеции $ABCD$ равны $AB = a$ и $CD = b$. Обозначим искомую длину отрезка $EF$ через $x$. По условию задачи, отрезок $EF$ параллелен основаниям и делит трапецию $ABCD$ на две подобные трапеции: верхнюю $EFCD$ и нижнюю $ABFE$.

Условие подобия двух многоугольников заключается в равенстве их соответствующих углов и пропорциональности их соответствующих сторон. Поскольку $EF \parallel AB \parallel CD$, равенство соответствующих углов у трапеций $EFCD$ и $ABFE$ автоматически выполняется.

Следовательно, для подобия необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие стороны были пропорциональны. Рассмотрим основания трапеций. В трапеции $EFCD$ основаниями являются отрезки $CD$ (длиной $b$) и $EF$ (длиной $x$). В трапеции $ABFE$ основаниями являются отрезки $EF$ (длиной $x$) и $AB$ (длиной $a$).

Примем, что $a > b$. Тогда, очевидно, $a > x > b$. В таком случае, в трапеции $EFCD$ меньшим основанием является $CD$, а большим — $EF$. В трапеции $ABFE$ меньшим основанием является $EF$, а большим — $AB$.

Из условия подобия трапеций $EFCD$ и $ABFE$ следует, что отношение их соответствующих сторон должно быть равным. В частности, отношение длин меньших оснований должно быть равно отношению длин больших оснований:

$\frac{\text{меньшее основание } EFCD}{\text{меньшее основание } ABFE} = \frac{\text{большее основание } EFCD}{\text{большее основание } ABFE}$

Подставим длины сторон:

$\frac{CD}{EF} = \frac{EF}{AB}$

Получаем пропорцию:

$\frac{b}{x} = \frac{x}{a}$

Для нахождения $x$ решим это уравнение. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$x \cdot x = a \cdot b$

$x^2 = ab$

Так как длина отрезка $x$ является положительной величиной, извлекаем арифметический квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt{ab}$

Таким образом, длина отрезка $EF$ должна быть равна среднему геометрическому длин оснований трапеции.

Ответ: $\sqrt{ab}$.