Номер 11, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Докажите, что любые два квадрата подобны.

Чтобы доказать, что любые два квадрата подобны, необходимо воспользоваться определением подобных многоугольников. Два многоугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Рассмотрим два произвольных квадрата: первый со стороной $a_1$ и второй со стороной $a_2$.

Сначала проверим условие равенства углов. По определению квадрата, все его внутренние углы являются прямыми и равны $90^\circ$. Это означает, что все углы первого квадрата равны всем углам второго квадрата. Таким образом, условие равенства соответствующих углов выполняется для любых двух квадратов.

Далее проверим условие пропорциональности сторон. У первого квадрата все стороны равны $a_1$, а у второго — $a_2$. Отношение длин соответствующих сторон для любой пары сторон двух квадратов будет одинаковым и равным коэффициенту подобия $k$:$$ k = \frac{a_2}{a_1} $$Следовательно, все соответствующие стороны двух квадратов пропорциональны. Условие пропорциональности сторон также выполняется.

Поскольку для любых двух квадратов выполняются оба условия подобия — равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон, — то любые два квадрата подобны.

Ответ: Любые два квадрата подобны, так как у них всегда равны соответствующие углы (все по $90^\circ$) и пропорциональны соответствующие стороны (с коэффициентом пропорциональности, равным отношению их сторон). Что и требовалось доказать.