Номер 8, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Приведите примеры фигур, которые подобны сами себе при любом коэффициенте подобия.

Фигуры, которые подобны сами себе при любом коэффициенте подобия, — это такие фигуры, форма которых не зависит от их размера. Это свойство можно понимать двояко. Во-первых, это могут быть классы фигур, любые два представителя которых подобны друг другу (например, любые два квадрата). Во-вторых, это могут быть фигуры, которые при преобразовании подобия с центром в определённой точке переходят сами в себя (например, прямая). Ниже приведены примеры, иллюстрирующие оба этих случая.

Любые две прямые на плоскости или в пространстве можно совместить движением (параллельным переносом и поворотом), поэтому они конгруэнтны. Конгруэнтность является частным случаем подобия с коэффициентом $k=1$. Таким образом, можно сказать, что все прямые подобны друг другу. Более того, если для прямой выполнить преобразование подобия (гомотетию) с центром в любой точке, лежащей на этой прямой, то прямая перейдет сама в себя. Это в точности соответствует условию, что фигура подобна сама себе при любом коэффициенте подобия.

Форма круга (и окружности) однозначно определяется его радиусом. Любые два круга с радиусами $R_1$ и $R_2$ подобны друг другу. Коэффициент подобия, переводящий первый круг во второй, равен отношению их радиусов: $k = R_2 / R_1$. Преобразование подобия будет состоять из гомотетии с центром в центре первого круга и коэффициентом $k$, а также параллельного переноса, совмещающего центры.

Все квадраты подобны друг другу. Квадрат — это правильный четырехугольник, у которого все углы равны $90^\circ$, а все стороны равны между собой. Если взять два квадрата со сторонами $a_1$ и $a_2$, то второй можно получить из первого преобразованием подобия с коэффициентом $k = a_2 / a_1$. У всех квадратов одинаковые углы и пропорциональные стороны, что является определением подобных многоугольников.

Это обобщение примера с квадратом. Для любого заданного числа вершин $n$ (где $n \ge 3$), все правильные n-угольники подобны друг другу. Например, все правильные треугольники (равносторонние) подобны между собой, все правильные пятиугольники подобны между собой, и так далее. У них по определению равны все соответствующие углы, а отношение длин сторон постоянно.

Угол как геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом (вершиной), переходит сам в себя при преобразовании подобия (гомотетии), центр которого находится в вершине угла. Таким образом, он буквально подобен сам себе при любом коэффициенте $k > 0$. Также стоит отметить, что любые два угла с одинаковой градусной мерой конгруэнтны, а значит и подобны.

Любой луч можно совместить с любым другим лучом с помощью движения, поэтому все лучи конгруэнтны и, следовательно, подобны. Кроме того, как и в случае с углом, если центр подобия совпадает с началом луча, то при любом коэффициенте подобия $k > 0$ луч отображается сам на себя.

Ответ: Примерами фигур, которые подобны сами себе при любом коэффициенте подобия, являются прямая, луч, угол, круг (и окружность), квадрат, а также любой правильный n-угольник (при фиксированном n).