Номер 9, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Докажите, что композиция двух преобразований подобия является подобием.

Доказательство:

По определению, преобразование подобия (или просто подобие) — это преобразование плоскости, при котором для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A'$ и $B'$ сохраняется отношение расстояний, то есть выполняется равенство $|A'B'| = k \cdot |AB|$, где $k$ — постоянное положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Пусть даны два преобразования подобия: $S_1$ с коэффициентом подобия $k_1 > 0$ и $S_2$ с коэффициентом подобия $k_2 > 0$.

Рассмотрим их композицию $S = S_2 \circ S_1$. Это означает, что мы последовательно применяем преобразования: сначала $S_1$, а затем к результату — $S_2$.

Возьмем две произвольные точки на плоскости, $A$ и $B$.

1. Применим к ним преобразование $S_1$. Точки $A$ и $B$ перейдут в точки $A'$ и $B'$ соответственно:
$A' = S_1(A)$
$B' = S_1(B)$
Согласно определению преобразования подобия $S_1$, расстояние между образами связано с исходным расстоянием следующим образом:
$|A'B'| = k_1 \cdot |AB|$

2. Теперь к полученным точкам $A'$ и $B'$ применим преобразование $S_2$. Точки $A'$ и $B'$ перейдут в точки $A''$ и $B''$ соответственно:
$A'' = S_2(A')$
$B'' = S_2(B')$
Согласно определению преобразования подобия $S_2$:
$|A''B''| = k_2 \cdot |A'B'|$

Точки $A''$ и $B''$ являются образами исходных точек $A$ и $B$ при композиции преобразований $S = S_2 \circ S_1$, так как $A'' = S_2(S_1(A))$ и $B'' = S_2(S_1(B))$.

Теперь выразим расстояние $|A''B''|$ через исходное расстояние $|AB|$. Для этого подставим выражение для $|A'B'|$ из первого шага во второй:
$|A''B''| = k_2 \cdot |A'B'| = k_2 \cdot (k_1 \cdot |AB|) = (k_1 \cdot k_2) \cdot |AB|$

Обозначим произведение коэффициентов как $k = k_1 \cdot k_2$. Поскольку $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$, их произведение $k$ также является положительным числом ($k > 0$).

Таким образом, для композиции преобразований $S$ мы получили, что для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A''$ и $B''$ выполняется соотношение:
$|A''B''| = k \cdot |AB|$, где $k = k_1 \cdot k_2 > 0$.

Это равенство полностью соответствует определению преобразования подобия с коэффициентом $k$. Следовательно, композиция двух преобразований подобия является преобразованием подобия. Что и требовалось доказать.

Ответ: Композиция двух преобразований подобия с коэффициентами $k_1$ и $k_2$ является преобразованием подобия с коэффициентом $k = k_1 \cdot k_2$.