Номер 5, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Во сколько раз нужно увеличить сторону квадрата, чтобы его площадь увеличилась в:
а) 25;
б) 16;
в) 4;
г) 2 раза.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$, а его площадь $S=a^2$. Если сторону квадрата увеличить в $k$ раз, то новая сторона будет равна $k \cdot a$. Новая площадь $S_{new}$ будет равна $(k \cdot a)^2 = k^2 \cdot a^2 = k^2 \cdot S$. Таким образом, при увеличении стороны в $k$ раз, площадь увеличивается в $k^2$ раз. В задаче дан коэффициент увеличения площади, и нужно найти коэффициент увеличения стороны. Если площадь увеличилась в $N$ раз, то $k^2 = N$, откуда $k = \sqrt{N}$.

а) Чтобы площадь увеличилась в 25 раз, сторону квадрата нужно увеличить в $\sqrt{25} = 5$ раз. Проверим: если сторона была $a$, а стала $5a$, то площадь была $a^2$, а стала $(5a)^2 = 25a^2$, то есть увеличилась в 25 раз. Ответ: в 5 раз.

б) Чтобы площадь увеличилась в 16 раз, сторону квадрата нужно увеличить в $\sqrt{16} = 4$ раза. Проверим: если сторона была $a$, а стала $4a$, то площадь была $a^2$, а стала $(4a)^2 = 16a^2$, то есть увеличилась в 16 раз. Ответ: в 4 раза.

в) Чтобы площадь увеличилась в 4 раза, сторону квадрата нужно увеличить в $\sqrt{4} = 2$ раза. Проверим: если сторона была $a$, а стала $2a$, то площадь была $a^2$, а стала $(2a)^2 = 4a^2$, то есть увеличилась в 4 раза. Ответ: в 2 раза.

г) Чтобы площадь увеличилась в 2 раза, сторону квадрата нужно увеличить в $\sqrt{2}$ раз. Проверим: если сторона была $a$, а стала $\sqrt{2}a$, то площадь была $a^2$, а стала $(\sqrt{2}a)^2 = 2a^2$, то есть увеличилась в 2 раза. Ответ: в $\sqrt{2}$ раз.