Номер 10, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Укажите преобразование подобия, переводящее треугольник $ABC$ в треугольник $A_1 B_1 C_1$ (рис. 13.8). Сравните их площади $S$ и $S_1$.

Рис. 13.8

Для решения задачи введем систему координат, поместив ее начало в левый нижний угол сетки. Тогда вершины треугольников имеют следующие координаты: $A(0, 1)$, $B(2, 0)$, $C(2, 2)$ для треугольника $ABC$ и $A_1(3, 0)$, $B_1(5, 5)$, $C_1(1, 4)$ для треугольника $A_1B_1C_1$.
Найдем длины сторон треугольника $ABC$ по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0+4} = 2$
$AC = \sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = AC$.
Теперь найдем длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$:
$A_1B_1 = \sqrt{(5-3)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}$
$B_1C_1 = \sqrt{(1-5)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$
$A_1C_1 = \sqrt{(1-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
Треугольник $A_1B_1C_1$ не является равнобедренным, так как все его стороны имеют разную длину. Поскольку преобразование подобия сохраняет равенство сторон и углов, равнобедренный треугольник может быть подобен только другому равнобедренному треугольнику. Следовательно, треугольники в их заданном виде не могут быть подобны. Вероятнее всего, в условии задачи на рисунке допущена опечатка. Наиболее правдоподобное предположение — ошибка в координатах вершины $B_1$. Если принять, что ее правильные координаты $B_1(5, 4)$, то задача имеет корректное и логичное решение. Далее решение приводится в этом предположении.

Преобразование подобия
Примем, что вершина $B_1$ имеет координаты $(5, 4)$. Тогда стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны:
$A_1B_1 = \sqrt{(5-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$B_1C_1 = \sqrt{(1-5)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$
$A_1C_1 = \sqrt{(1-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
Теперь треугольник $A_1B_1C_1$ — равнобедренный с основанием $B_1C_1$ ($A_1B_1=A_1C_1$). Сравним отношения соответствующих сторон треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$:
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$
$\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$
$\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{4}{2} = 2$
Отношения сторон равны, следовательно, треугольники подобны с коэффициентом подобия $k=2$. Преобразование, переводящее $ABC$ в $A_1B_1C_1$, является поворотной гомотетией (спиральным подобием). Его можно описать на комплексной плоскости формулой $z' = az+b$. Для нахождения параметров $a$ и $b$ используем соответствие вершин $A(i) \to A_1(3)$ и $C(2+2i) \to C_1(1+4i)$:
$3 = a \cdot i + b$
$1+4i = a(2+2i)+b$
Вычитая первое уравнение из второго, получаем: $(1+4i)-3 = a(2+2i)-ai \Rightarrow -2+4i = a(2+i)$, откуда $a = \frac{-2+4i}{2+i} = 2i$.
Теперь найдем $b$: из первого уравнения $b = 3-ai$, подставляем $a=2i$, получаем $b = 3-(2i)i = 3-2i^2 = 3+2=5$.
Преобразование задается формулой $z' = 2iz+5$. Коэффициент подобия $k=|a|=|2i|=2$. Угол поворота $\theta = \arg(2i) = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$) против часовой стрелки. Центр преобразования $z_0$ — это неподвижная точка, для которой $z_0 = 2iz_0+5$. Отсюда $z_0(1-2i) = 5$, и $z_0 = \frac{5}{1-2i} = 1+2i$. Центр преобразования находится в точке с координатами $(1, 2)$.
Ответ: Преобразование подобия является поворотной гомотетией с центром в точке $(1, 2)$, коэффициентом растяжения $k=2$ и углом поворота $90^\circ$ против часовой стрелки.

Сравнение площадей S и S₁
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S} = k^2$. Так как мы установили, что коэффициент подобия $k=2$, то отношение площадей равно:
$\frac{S_1}{S} = 2^2 = 4$
Таким образом, площадь $S_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ в 4 раза больше площади $S$ треугольника $ABC$.
Этот результат можно проверить прямым вычислением площадей. Площадь треугольника $ABC$ с основанием $BC$, длина которого 2, и высотой, проведенной из вершины $A$ к прямой $x=2$, равной 2, составляет $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ кв. ед. Площадь (скорректированного) треугольника $A_1B_1C_1$ с основанием $B_1C_1$, длина которого 4, и высотой, проведенной из вершины $A_1$ к прямой $y=4$, равной 4, составляет $S_1=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ кв. ед. Отношение площадей $S_1/S = 8/2 = 4$, что подтверждает найденное соотношение.
Ответ: $S_1 = 4S$.