Номер 12, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что любые две окружности подобны и коэффициент подобия равен отношению их радиусов.

Для доказательства того, что любые две окружности подобны, необходимо показать, что одну окружность можно преобразовать в другую с помощью преобразования подобия. Преобразование подобия — это композиция (последовательное применение) движения и гомотетии.

Рассмотрим две произвольные окружности: окружность $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и окружность $\omega_2$ с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$.

Шаг 1: Параллельный перенос

Выполним параллельный перенос окружности $\omega_1$ на вектор $\vec{O_1O_2}$. Это преобразование является движением, то есть сохраняет расстояния. При этом преобразовании центр окружности $\omega_1$ — точка $O_1$ — перейдет в центр окружности $\omega_2$ — точку $O_2$. В результате мы получим новую окружность $\omega'_1$, которая имеет тот же радиус $R_1$, что и $\omega_1$, но ее центр теперь совпадает с центром окружности $\omega_2$. Таким образом, окружности $\omega'_1$ и $\omega_2$ являются концентрическими.

Шаг 2: Гомотетия

Теперь рассмотрим две концентрические окружности $\omega'_1$ (с радиусом $R_1$) и $\omega_2$ (с радиусом $R_2$), обе с центром в точке $O_2$.

Применим к окружности $\omega'_1$ гомотетию с центром в точке $O_2$ и коэффициентом $k = \frac{R_2}{R_1}$.

Пусть $M'$ — произвольная точка на окружности $\omega'_1$. По определению окружности, расстояние от центра до этой точки равно радиусу: $|O_2M'| = R_1$.

При гомотетии с центром $O_2$ и коэффициентом $k$ точка $M'$ перейдет в точку $M''$ такую, что точка $M''$ лежит на луче $O_2M'$, и расстояние $|O_2M''|$ связано с расстоянием $|O_2M'|$ следующим образом:

$|O_2M''| = k \cdot |O_2M'| = \frac{R_2}{R_1} \cdot R_1 = R_2$.

Это означает, что точка $M''$ находится на расстоянии $R_2$ от центра $O_2$, то есть принадлежит окружности $\omega_2$. Поскольку это верно для любой точки $M'$ окружности $\omega'_1$, вся окружность $\omega'_1$ преобразуется в окружность $\omega_2$.

Вывод

Мы показали, что любую окружность $\omega_1$ можно преобразовать в любую другую окружность $\omega_2$ с помощью композиции двух преобразований: параллельного переноса и гомотетии. Существование такого преобразования подобия по определению означает, что окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ подобны.

Коэффициент подобия $k$ определяется коэффициентом гомотетии, который мы использовали. В нашем случае он равен $k = \frac{R_2}{R_1}$, что является отношением радиусов второй и первой окружностей. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Любые две окружности можно совместить с помощью параллельного переноса и гомотетии, следовательно, они подобны. Коэффициент подобия равен коэффициенту гомотетии $k = \frac{R_2}{R_1}$, то есть отношению их радиусов. Что и требовалось доказать.