Номер 19, страница 75 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Придумайте какие-нибудь признаки подобия треугольников.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Сходственные стороны — это стороны, лежащие против равных углов. Для того чтобы установить подобие двух треугольников, нет необходимости проверять все эти условия. Достаточно воспользоваться одним из трёх признаков подобия.

Первый признак подобия (по двум углам)

Формулировка: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Если $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $, то из этого следует, что $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $. Этот признак следует из того, что сумма углов треугольника всегда равна $180^\circ$. Если два угла в треугольниках соответственно равны, то и третьи углы также будут равны: $ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1) = \angle C_1 $. Таким образом, все соответствующие углы треугольников равны, и они подобны по определению.

Ответ: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия (по двум сторонам и углу между ними)

Формулировка: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ стороны $AB$ и $AC$ пропорциональны сторонам $A_1B_1$ и $A_1C_1$, а углы между ними равны: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $ и $ \angle A = \angle A_1 $. Тогда треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ подобны. Из этого условия следует, что и третья пара сторон будет иметь то же отношение $ \frac{BC}{B_1C_1} = k $, а остальные углы будут соответственно равны: $ \angle B = \angle B_1 $ и $ \angle C = \angle C_1 $.

Ответ: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия (по трём сторонам)

Формулировка: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Если для треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ выполняется соотношение $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $, то $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $. Пропорциональность всех сторон однозначно определяет углы треугольника (что можно показать, например, с помощью теоремы косинусов). Из этого условия следует равенство соответствующих углов: $ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $ и $ \angle C = \angle C_1 $.

Ответ: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.