Номер 15, страница 74 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Трапеция разделена средней линией на две трапеции (рис. 13.11).

Будут ли они подобны?

Рис. 13.11

Для того чтобы два многоугольника (в данном случае, трапеции) были подобны, необходимо выполнение двух условий: равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AB$ и $DC$ — основания. Пусть $EF$ — средняя линия. Тогда $E$ — середина боковой стороны $AD$, а $F$ — середина боковой стороны $BC$. Средняя линия делит трапецию $ABCD$ на две трапеции: $DCFE$ и $EFBA$.

Обозначим длины оснований как $DC = b$ и $AB = a$.Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований: $EF = \frac{a+b}{2}$.

Рассмотрим две образовавшиеся трапеции:1. Верхняя трапеция $DCFE$ с основаниями $DC=b$ и $EF=\frac{a+b}{2}$.2. Нижняя трапеция $EFBA$ с основаниями $EF=\frac{a+b}{2}$ и $AB=a$.

Для подобия этих трапеций должно выполняться равенство отношений их соответствующих сторон. Установим соответствие между сторонами. Меньшее основание верхней трапеции ($DC$) должно соответствовать меньшему основанию нижней ($EF$), а большее основание верхней ($EF$) — большему основанию нижней ($AB$). Боковые стороны $DE$ и $CF$ верхней трапеции должны соответствовать боковым сторонам $EA$ и $FB$ нижней трапеции.

Таким образом, для подобия должен существовать коэффициент подобия $k$, такой что:

$\frac{DC}{EF} = \frac{EF}{AB} = \frac{DE}{EA} = \frac{CF}{FB} = k$

По определению средней линии, точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $AD$ и $BC$. Следовательно, $DE = EA$ и $CF = FB$.Из этого следует, что отношения боковых сторон равны единице:$\frac{DE}{EA} = 1$ и $\frac{CF}{FB} = 1$.

Значит, коэффициент подобия $k$ должен быть равен 1.Тогда и отношения оснований также должны быть равны 1:$\frac{DC}{EF} = 1 \implies DC = EF$$\frac{EF}{AB} = 1 \implies EF = AB$

Получаем, что $DC = EF = AB$.Подставим это в формулу для средней линии: $EF = \frac{AB+DC}{2}$.Если $DC=AB$, то $EF = \frac{AB+AB}{2} = AB$.Условие $DC=AB$ означает, что исходная трапеция является параллелограммом.

В общем случае для произвольной трапеции, у которой основания не равны ($a \neq b$), отношения оснований не будут равны 1. Например, если $a > b$, то $EF = \frac{a+b}{2}$ будет больше $b$, но меньше $a$. Следовательно, $\frac{DC}{EF} \neq 1$ и $\frac{EF}{AB} \neq 1$.

Таким образом, две трапеции, образованные средней линией, подобны только в том случае, если исходная фигура является параллелограммом (в этом случае они не просто подобны, а конгруэнтны). В общем случае для трапеции, не являющейся параллелограммом, эти две трапеции не будут подобны.

Ответ: Нет, в общем случае трапеции не будут подобны. Они подобны только в том случае, если исходная трапеция является параллелограммом.