Страница 74 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Во сколько раз нужно увеличить сторону квадрата, чтобы его площадь увеличилась в:
а) 25;
б) 16;
в) 4;
г) 2 раза.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$, а его площадь $S=a^2$. Если сторону квадрата увеличить в $k$ раз, то новая сторона будет равна $k \cdot a$. Новая площадь $S_{new}$ будет равна $(k \cdot a)^2 = k^2 \cdot a^2 = k^2 \cdot S$. Таким образом, при увеличении стороны в $k$ раз, площадь увеличивается в $k^2$ раз. В задаче дан коэффициент увеличения площади, и нужно найти коэффициент увеличения стороны. Если площадь увеличилась в $N$ раз, то $k^2 = N$, откуда $k = \sqrt{N}$.

а) Чтобы площадь увеличилась в 25 раз, сторону квадрата нужно увеличить в $\sqrt{25} = 5$ раз. Проверим: если сторона была $a$, а стала $5a$, то площадь была $a^2$, а стала $(5a)^2 = 25a^2$, то есть увеличилась в 25 раз. Ответ: в 5 раз.

б) Чтобы площадь увеличилась в 16 раз, сторону квадрата нужно увеличить в $\sqrt{16} = 4$ раза. Проверим: если сторона была $a$, а стала $4a$, то площадь была $a^2$, а стала $(4a)^2 = 16a^2$, то есть увеличилась в 16 раз. Ответ: в 4 раза.

в) Чтобы площадь увеличилась в 4 раза, сторону квадрата нужно увеличить в $\sqrt{4} = 2$ раза. Проверим: если сторона была $a$, а стала $2a$, то площадь была $a^2$, а стала $(2a)^2 = 4a^2$, то есть увеличилась в 4 раза. Ответ: в 2 раза.

г) Чтобы площадь увеличилась в 2 раза, сторону квадрата нужно увеличить в $\sqrt{2}$ раз. Проверим: если сторона была $a$, а стала $\sqrt{2}a$, то площадь была $a^2$, а стала $(\sqrt{2}a)^2 = 2a^2$, то есть увеличилась в 2 раза. Ответ: в $\sqrt{2}$ раз.

6. Фигура $F'$ на рисунке 13.1 подобна фигуре $F$ с коэффициентом подобия $k = 3$. Как связаны их площади $S'$ и $S$?

Согласно свойству подобных фигур, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Пусть $S$ - это площадь фигуры $F$, а $S'$ - это площадь подобной ей фигуры $F'$. Коэффициент подобия равен $k$.

Математически это свойство выражается следующей формулой:

$\frac{S'}{S} = k^2$

По условию задачи, фигура $F'$ подобна фигуре $F$ с коэффициентом подобия $k = 3$. Подставим это значение в формулу:

$\frac{S'}{S} = 3^2$

Вычислим квадрат коэффициента подобия:

$\frac{S'}{S} = 9$

Из этого соотношения мы можем выразить площадь $S'$ через площадь $S$:

$S' = 9 \cdot S$

Таким образом, площадь фигуры $F'$ в 9 раз больше площади фигуры $F$.

Ответ: $S' = 9S$.

7. Фигура $F'$ подобна фигуре $F$ с коэффициентом $k$. С каким коэффициентом фигура $F$ подобна фигуре $F'$?

По определению подобия, если фигура $F'$ подобна фигуре $F$ с коэффициентом $k$, это означает, что для любой пары точек $A$ и $B$ в фигуре $F$ и соответствующих им точек $A'$ и $B'$ в фигуре $F'$, отношение расстояний между ними равно $k$. Математически это записывается так:

$\frac{A'B'}{AB} = k$

где $AB$ — расстояние между точками $A$ и $B$, а $A'B'$ — расстояние между соответствующими точками $A'$ и $B'$. Из этого равенства следует, что $A'B' = k \cdot AB$.

Теперь нам нужно найти коэффициент подобия фигуры $F$ фигуре $F'$. Обозначим этот искомый коэффициент как $k_{обр}$. По определению, этот коэффициент будет равен отношению расстояния между точками в фигуре $F$ к расстоянию между соответствующими точками в фигуре $F'$:

$k_{обр} = \frac{AB}{A'B'}$

Мы можем выразить это отношение, используя исходное равенство $A'B' = k \cdot AB$. Подставим выражение для $A'B'$ в формулу для $k_{обр}$:

$k_{обр} = \frac{AB}{k \cdot AB}$

Сократив $AB$ в числителе и знаменателе, получим:

$k_{обр} = \frac{1}{k}$

Таким образом, коэффициент подобия фигуры $F$ фигуре $F'$ является величиной, обратной коэффициенту подобия фигуры $F'$ фигуре $F$.

Ответ: $\frac{1}{k}$.

8. Приведите примеры фигур, которые подобны сами себе при любом коэффициенте подобия.

Фигуры, которые подобны сами себе при любом коэффициенте подобия, — это такие фигуры, форма которых не зависит от их размера. Это свойство можно понимать двояко. Во-первых, это могут быть классы фигур, любые два представителя которых подобны друг другу (например, любые два квадрата). Во-вторых, это могут быть фигуры, которые при преобразовании подобия с центром в определённой точке переходят сами в себя (например, прямая). Ниже приведены примеры, иллюстрирующие оба этих случая.

Любые две прямые на плоскости или в пространстве можно совместить движением (параллельным переносом и поворотом), поэтому они конгруэнтны. Конгруэнтность является частным случаем подобия с коэффициентом $k=1$. Таким образом, можно сказать, что все прямые подобны друг другу. Более того, если для прямой выполнить преобразование подобия (гомотетию) с центром в любой точке, лежащей на этой прямой, то прямая перейдет сама в себя. Это в точности соответствует условию, что фигура подобна сама себе при любом коэффициенте подобия.

Форма круга (и окружности) однозначно определяется его радиусом. Любые два круга с радиусами $R_1$ и $R_2$ подобны друг другу. Коэффициент подобия, переводящий первый круг во второй, равен отношению их радиусов: $k = R_2 / R_1$. Преобразование подобия будет состоять из гомотетии с центром в центре первого круга и коэффициентом $k$, а также параллельного переноса, совмещающего центры.

Все квадраты подобны друг другу. Квадрат — это правильный четырехугольник, у которого все углы равны $90^\circ$, а все стороны равны между собой. Если взять два квадрата со сторонами $a_1$ и $a_2$, то второй можно получить из первого преобразованием подобия с коэффициентом $k = a_2 / a_1$. У всех квадратов одинаковые углы и пропорциональные стороны, что является определением подобных многоугольников.

Это обобщение примера с квадратом. Для любого заданного числа вершин $n$ (где $n \ge 3$), все правильные n-угольники подобны друг другу. Например, все правильные треугольники (равносторонние) подобны между собой, все правильные пятиугольники подобны между собой, и так далее. У них по определению равны все соответствующие углы, а отношение длин сторон постоянно.

Угол как геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом (вершиной), переходит сам в себя при преобразовании подобия (гомотетии), центр которого находится в вершине угла. Таким образом, он буквально подобен сам себе при любом коэффициенте $k > 0$. Также стоит отметить, что любые два угла с одинаковой градусной мерой конгруэнтны, а значит и подобны.

Любой луч можно совместить с любым другим лучом с помощью движения, поэтому все лучи конгруэнтны и, следовательно, подобны. Кроме того, как и в случае с углом, если центр подобия совпадает с началом луча, то при любом коэффициенте подобия $k > 0$ луч отображается сам на себя.

Ответ: Примерами фигур, которые подобны сами себе при любом коэффициенте подобия, являются прямая, луч, угол, круг (и окружность), квадрат, а также любой правильный n-угольник (при фиксированном n).

9. Докажите, что композиция двух преобразований подобия является подобием.

Доказательство:

По определению, преобразование подобия (или просто подобие) — это преобразование плоскости, при котором для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A'$ и $B'$ сохраняется отношение расстояний, то есть выполняется равенство $|A'B'| = k \cdot |AB|$, где $k$ — постоянное положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Пусть даны два преобразования подобия: $S_1$ с коэффициентом подобия $k_1 > 0$ и $S_2$ с коэффициентом подобия $k_2 > 0$.

Рассмотрим их композицию $S = S_2 \circ S_1$. Это означает, что мы последовательно применяем преобразования: сначала $S_1$, а затем к результату — $S_2$.

Возьмем две произвольные точки на плоскости, $A$ и $B$.

1. Применим к ним преобразование $S_1$. Точки $A$ и $B$ перейдут в точки $A'$ и $B'$ соответственно:
$A' = S_1(A)$
$B' = S_1(B)$
Согласно определению преобразования подобия $S_1$, расстояние между образами связано с исходным расстоянием следующим образом:
$|A'B'| = k_1 \cdot |AB|$

2. Теперь к полученным точкам $A'$ и $B'$ применим преобразование $S_2$. Точки $A'$ и $B'$ перейдут в точки $A''$ и $B''$ соответственно:
$A'' = S_2(A')$
$B'' = S_2(B')$
Согласно определению преобразования подобия $S_2$:
$|A''B''| = k_2 \cdot |A'B'|$

Точки $A''$ и $B''$ являются образами исходных точек $A$ и $B$ при композиции преобразований $S = S_2 \circ S_1$, так как $A'' = S_2(S_1(A))$ и $B'' = S_2(S_1(B))$.

Теперь выразим расстояние $|A''B''|$ через исходное расстояние $|AB|$. Для этого подставим выражение для $|A'B'|$ из первого шага во второй:
$|A''B''| = k_2 \cdot |A'B'| = k_2 \cdot (k_1 \cdot |AB|) = (k_1 \cdot k_2) \cdot |AB|$

Обозначим произведение коэффициентов как $k = k_1 \cdot k_2$. Поскольку $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$, их произведение $k$ также является положительным числом ($k > 0$).

Таким образом, для композиции преобразований $S$ мы получили, что для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A''$ и $B''$ выполняется соотношение:
$|A''B''| = k \cdot |AB|$, где $k = k_1 \cdot k_2 > 0$.

Это равенство полностью соответствует определению преобразования подобия с коэффициентом $k$. Следовательно, композиция двух преобразований подобия является преобразованием подобия. Что и требовалось доказать.

Ответ: Композиция двух преобразований подобия с коэффициентами $k_1$ и $k_2$ является преобразованием подобия с коэффициентом $k = k_1 \cdot k_2$.

10. Укажите преобразование подобия, переводящее треугольник $ABC$ в треугольник $A_1 B_1 C_1$ (рис. 13.8). Сравните их площади $S$ и $S_1$.

Рис. 13.8

Для решения задачи введем систему координат, поместив ее начало в левый нижний угол сетки. Тогда вершины треугольников имеют следующие координаты: $A(0, 1)$, $B(2, 0)$, $C(2, 2)$ для треугольника $ABC$ и $A_1(3, 0)$, $B_1(5, 5)$, $C_1(1, 4)$ для треугольника $A_1B_1C_1$.
Найдем длины сторон треугольника $ABC$ по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0+4} = 2$
$AC = \sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = AC$.
Теперь найдем длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$:
$A_1B_1 = \sqrt{(5-3)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}$
$B_1C_1 = \sqrt{(1-5)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$
$A_1C_1 = \sqrt{(1-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
Треугольник $A_1B_1C_1$ не является равнобедренным, так как все его стороны имеют разную длину. Поскольку преобразование подобия сохраняет равенство сторон и углов, равнобедренный треугольник может быть подобен только другому равнобедренному треугольнику. Следовательно, треугольники в их заданном виде не могут быть подобны. Вероятнее всего, в условии задачи на рисунке допущена опечатка. Наиболее правдоподобное предположение — ошибка в координатах вершины $B_1$. Если принять, что ее правильные координаты $B_1(5, 4)$, то задача имеет корректное и логичное решение. Далее решение приводится в этом предположении.

Преобразование подобия
Примем, что вершина $B_1$ имеет координаты $(5, 4)$. Тогда стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны:
$A_1B_1 = \sqrt{(5-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$B_1C_1 = \sqrt{(1-5)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$
$A_1C_1 = \sqrt{(1-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
Теперь треугольник $A_1B_1C_1$ — равнобедренный с основанием $B_1C_1$ ($A_1B_1=A_1C_1$). Сравним отношения соответствующих сторон треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$:
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$
$\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$
$\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{4}{2} = 2$
Отношения сторон равны, следовательно, треугольники подобны с коэффициентом подобия $k=2$. Преобразование, переводящее $ABC$ в $A_1B_1C_1$, является поворотной гомотетией (спиральным подобием). Его можно описать на комплексной плоскости формулой $z' = az+b$. Для нахождения параметров $a$ и $b$ используем соответствие вершин $A(i) \to A_1(3)$ и $C(2+2i) \to C_1(1+4i)$:
$3 = a \cdot i + b$
$1+4i = a(2+2i)+b$
Вычитая первое уравнение из второго, получаем: $(1+4i)-3 = a(2+2i)-ai \Rightarrow -2+4i = a(2+i)$, откуда $a = \frac{-2+4i}{2+i} = 2i$.
Теперь найдем $b$: из первого уравнения $b = 3-ai$, подставляем $a=2i$, получаем $b = 3-(2i)i = 3-2i^2 = 3+2=5$.
Преобразование задается формулой $z' = 2iz+5$. Коэффициент подобия $k=|a|=|2i|=2$. Угол поворота $\theta = \arg(2i) = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$) против часовой стрелки. Центр преобразования $z_0$ — это неподвижная точка, для которой $z_0 = 2iz_0+5$. Отсюда $z_0(1-2i) = 5$, и $z_0 = \frac{5}{1-2i} = 1+2i$. Центр преобразования находится в точке с координатами $(1, 2)$.
Ответ: Преобразование подобия является поворотной гомотетией с центром в точке $(1, 2)$, коэффициентом растяжения $k=2$ и углом поворота $90^\circ$ против часовой стрелки.

Сравнение площадей S и S₁
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S} = k^2$. Так как мы установили, что коэффициент подобия $k=2$, то отношение площадей равно:
$\frac{S_1}{S} = 2^2 = 4$
Таким образом, площадь $S_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ в 4 раза больше площади $S$ треугольника $ABC$.
Этот результат можно проверить прямым вычислением площадей. Площадь треугольника $ABC$ с основанием $BC$, длина которого 2, и высотой, проведенной из вершины $A$ к прямой $x=2$, равной 2, составляет $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ кв. ед. Площадь (скорректированного) треугольника $A_1B_1C_1$ с основанием $B_1C_1$, длина которого 4, и высотой, проведенной из вершины $A_1$ к прямой $y=4$, равной 4, составляет $S_1=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ кв. ед. Отношение площадей $S_1/S = 8/2 = 4$, что подтверждает найденное соотношение.
Ответ: $S_1 = 4S$.

11. Докажите, что любые два квадрата подобны.

Чтобы доказать, что любые два квадрата подобны, необходимо воспользоваться определением подобных многоугольников. Два многоугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Рассмотрим два произвольных квадрата: первый со стороной $a_1$ и второй со стороной $a_2$.

Сначала проверим условие равенства углов. По определению квадрата, все его внутренние углы являются прямыми и равны $90^\circ$. Это означает, что все углы первого квадрата равны всем углам второго квадрата. Таким образом, условие равенства соответствующих углов выполняется для любых двух квадратов.

Далее проверим условие пропорциональности сторон. У первого квадрата все стороны равны $a_1$, а у второго — $a_2$. Отношение длин соответствующих сторон для любой пары сторон двух квадратов будет одинаковым и равным коэффициенту подобия $k$:$$ k = \frac{a_2}{a_1} $$Следовательно, все соответствующие стороны двух квадратов пропорциональны. Условие пропорциональности сторон также выполняется.

Поскольку для любых двух квадратов выполняются оба условия подобия — равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон, — то любые два квадрата подобны.

Ответ: Любые два квадрата подобны, так как у них всегда равны соответствующие углы (все по $90^\circ$) и пропорциональны соответствующие стороны (с коэффициентом пропорциональности, равным отношению их сторон). Что и требовалось доказать.

12. Докажите, что любые две окружности подобны и коэффициент подобия равен отношению их радиусов.

Для доказательства того, что любые две окружности подобны, необходимо показать, что одну окружность можно преобразовать в другую с помощью преобразования подобия. Преобразование подобия — это композиция (последовательное применение) движения и гомотетии.

Рассмотрим две произвольные окружности: окружность $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и окружность $\omega_2$ с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$.

Шаг 1: Параллельный перенос

Выполним параллельный перенос окружности $\omega_1$ на вектор $\vec{O_1O_2}$. Это преобразование является движением, то есть сохраняет расстояния. При этом преобразовании центр окружности $\omega_1$ — точка $O_1$ — перейдет в центр окружности $\omega_2$ — точку $O_2$. В результате мы получим новую окружность $\omega'_1$, которая имеет тот же радиус $R_1$, что и $\omega_1$, но ее центр теперь совпадает с центром окружности $\omega_2$. Таким образом, окружности $\omega'_1$ и $\omega_2$ являются концентрическими.

Шаг 2: Гомотетия

Теперь рассмотрим две концентрические окружности $\omega'_1$ (с радиусом $R_1$) и $\omega_2$ (с радиусом $R_2$), обе с центром в точке $O_2$.

Применим к окружности $\omega'_1$ гомотетию с центром в точке $O_2$ и коэффициентом $k = \frac{R_2}{R_1}$.

Пусть $M'$ — произвольная точка на окружности $\omega'_1$. По определению окружности, расстояние от центра до этой точки равно радиусу: $|O_2M'| = R_1$.

При гомотетии с центром $O_2$ и коэффициентом $k$ точка $M'$ перейдет в точку $M''$ такую, что точка $M''$ лежит на луче $O_2M'$, и расстояние $|O_2M''|$ связано с расстоянием $|O_2M'|$ следующим образом:

$|O_2M''| = k \cdot |O_2M'| = \frac{R_2}{R_1} \cdot R_1 = R_2$.

Это означает, что точка $M''$ находится на расстоянии $R_2$ от центра $O_2$, то есть принадлежит окружности $\omega_2$. Поскольку это верно для любой точки $M'$ окружности $\omega'_1$, вся окружность $\omega'_1$ преобразуется в окружность $\omega_2$.

Вывод

Мы показали, что любую окружность $\omega_1$ можно преобразовать в любую другую окружность $\omega_2$ с помощью композиции двух преобразований: параллельного переноса и гомотетии. Существование такого преобразования подобия по определению означает, что окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ подобны.

Коэффициент подобия $k$ определяется коэффициентом гомотетии, который мы использовали. В нашем случае он равен $k = \frac{R_2}{R_1}$, что является отношением радиусов второй и первой окружностей. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Любые две окружности можно совместить с помощью параллельного переноса и гомотетии, следовательно, они подобны. Коэффициент подобия равен коэффициенту гомотетии $k = \frac{R_2}{R_1}$, то есть отношению их радиусов. Что и требовалось доказать.

13. Подобны ли прямоугольники, образующие рамку картины (рис. 13.9)? Ширина рамки постоянна.

Рис. 13.9

Для того чтобы определить, подобны ли прямоугольники, образующие рамку, необходимо проверить, выполняется ли для них условие подобия. Два прямоугольника подобны, если отношение их соответственных сторон равно.

Пусть размеры внутреннего прямоугольника (самой картины) равны $a$ и $b$. Пусть ширина рамки, которая постоянна, равна $x$.

Тогда размеры внешнего прямоугольника будут:

Длина: $a + x + x = a + 2x$

Ширина: $b + x + x = b + 2x$

Для того чтобы внутренний и внешний прямоугольники были подобны, отношение их длин должно быть равно отношению их ширин. Запишем это в виде пропорции:

$\frac{a+2x}{a} = \frac{b+2x}{b}$

Также можно записать это как равенство отношений длины к ширине для каждого прямоугольника:

$\frac{a}{b} = \frac{a+2x}{b+2x}$

Чтобы проверить, при каких условиях это равенство выполняется, решим уравнение, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$a \cdot (b+2x) = b \cdot (a+2x)$

Раскроем скобки:

$ab + 2ax = ab + 2bx$

Вычтем из обеих частей уравнения $ab$:

$2ax = 2bx$

Поскольку ширина рамки $x$ - это положительная величина ($x > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $2x$:

$a = b$

Этот результат показывает, что прямоугольники, образующие рамку, подобны только в том случае, если внутренний прямоугольник является квадратом ($a=b$). Если картина квадратная, то и рамка с ней будет квадратной, а любые два квадрата подобны. Однако, в общем случае, когда картина представляет собой прямоугольник, не являющийся квадратом ($a \neq b$), условие подобия не выполняется. На рисунке 13.9 изображен именно такой общий случай.

Ответ: Нет, в общем случае прямоугольники, образующие рамку, не подобны. Они подобны только в том случае, если исходная картина имеет форму квадрата.

14. На рисунке 13.10 изображен параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = a$, $BC = b$, от которого отсечен другой параллелограмм $FBCE$, подобный данному. Каким должен быть отрезок $BF$?

Рис. 13.10

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = a$ и $BC = b$. От него отсечен другой параллелограмм $FBCE$, подобный данному. Точка $F$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $DC$. Необходимо найти длину отрезка $BF$. Обозначим искомую длину $BF = x$.

Так как $FBCE$ является параллелограммом, его противолежащие стороны равны: $FB = EC = x$ и $BC = FE = b$. Следовательно, смежные стороны параллелограмма $FBCE$ равны $x$ и $b$.

По условию, параллелограмм $ABCD$ подобен параллелограмму $FBCE$. Подобие многоугольников означает, что их соответствующие углы равны, а отношения длин соответствующих сторон постоянны (равны коэффициенту подобия).

1. Сравнение углов.Углы параллелограмма $ABCD$ при вершинах $B$ и $C$ — это $\angle ABC$ и $\angle BCD$. В параллелограмме $FBCE$ угол при вершине $B$ — это $\angle FBC$. Поскольку точка $F$ лежит на отрезке $AB$, угол $\angle FBC$ совпадает с углом $\angle ABC$. Так как у параллелограммов $ABCD$ и $FBCE$ один угол общий, то и все остальные углы у них соответственно равны. Таким образом, условие равенства углов для подобия выполняется.

2. Сравнение сторон.Так как параллелограммы подобны, отношение их соответствующих сторон должно быть одинаковым. Смежные стороны параллелограмма $ABCD$ равны $AB = a$ и $BC = b$. Смежные стороны параллелограмма $FBCE$ равны $FB = x$ и $BC = b$.

Существует две возможные пропорции для соответствия сторон:

а) Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ соответствует стороне $FB$ параллелограмма $FBCE$, а сторона $BC$ ($ABCD$) соответствует стороне $BC$ ($FBCE$). В этом случае отношение сторон будет:$\frac{AB}{FB} = \frac{BC}{BC}$Подставляя значения, получаем:$\frac{a}{x} = \frac{b}{b} = 1$Отсюда $x = a$. Это означало бы, что точка $F$ совпадает с точкой $A$, и параллелограмм $FBCE$ был бы равен параллелограмму $ABCD$. Это противоречит условию, что $FBCE$ "отсечен" от $ABCD$, то есть является его частью.

б) Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ соответствует стороне $BC$ параллелограмма $FBCE$, а сторона $BC$ ($ABCD$) соответствует стороне $FB$ ($FBCE$). Такое соответствие означает, что отношение сторон в одном параллелограмме равно отношению соответствующих сторон в другом. Запишем пропорцию:$\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{FB}$

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон:$\frac{a}{b} = \frac{b}{x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$, чтобы найти длину $BF$:$a \cdot x = b \cdot b$$x = \frac{b^2}{a}$

Это и есть искомая длина отрезка $BF$.

Ответ: Длина отрезка $BF$ должна быть равна $\frac{b^2}{a}$.

15. Трапеция разделена средней линией на две трапеции (рис. 13.11).

Будут ли они подобны?

Рис. 13.11

Для того чтобы два многоугольника (в данном случае, трапеции) были подобны, необходимо выполнение двух условий: равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AB$ и $DC$ — основания. Пусть $EF$ — средняя линия. Тогда $E$ — середина боковой стороны $AD$, а $F$ — середина боковой стороны $BC$. Средняя линия делит трапецию $ABCD$ на две трапеции: $DCFE$ и $EFBA$.

Обозначим длины оснований как $DC = b$ и $AB = a$.Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований: $EF = \frac{a+b}{2}$.

Рассмотрим две образовавшиеся трапеции:1. Верхняя трапеция $DCFE$ с основаниями $DC=b$ и $EF=\frac{a+b}{2}$.2. Нижняя трапеция $EFBA$ с основаниями $EF=\frac{a+b}{2}$ и $AB=a$.

Для подобия этих трапеций должно выполняться равенство отношений их соответствующих сторон. Установим соответствие между сторонами. Меньшее основание верхней трапеции ($DC$) должно соответствовать меньшему основанию нижней ($EF$), а большее основание верхней ($EF$) — большему основанию нижней ($AB$). Боковые стороны $DE$ и $CF$ верхней трапеции должны соответствовать боковым сторонам $EA$ и $FB$ нижней трапеции.

Таким образом, для подобия должен существовать коэффициент подобия $k$, такой что:

$\frac{DC}{EF} = \frac{EF}{AB} = \frac{DE}{EA} = \frac{CF}{FB} = k$

По определению средней линии, точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $AD$ и $BC$. Следовательно, $DE = EA$ и $CF = FB$.Из этого следует, что отношения боковых сторон равны единице:$\frac{DE}{EA} = 1$ и $\frac{CF}{FB} = 1$.

Значит, коэффициент подобия $k$ должен быть равен 1.Тогда и отношения оснований также должны быть равны 1:$\frac{DC}{EF} = 1 \implies DC = EF$$\frac{EF}{AB} = 1 \implies EF = AB$

Получаем, что $DC = EF = AB$.Подставим это в формулу для средней линии: $EF = \frac{AB+DC}{2}$.Если $DC=AB$, то $EF = \frac{AB+AB}{2} = AB$.Условие $DC=AB$ означает, что исходная трапеция является параллелограммом.

В общем случае для произвольной трапеции, у которой основания не равны ($a \neq b$), отношения оснований не будут равны 1. Например, если $a > b$, то $EF = \frac{a+b}{2}$ будет больше $b$, но меньше $a$. Следовательно, $\frac{DC}{EF} \neq 1$ и $\frac{EF}{AB} \neq 1$.

Таким образом, две трапеции, образованные средней линией, подобны только в том случае, если исходная фигура является параллелограммом (в этом случае они не просто подобны, а конгруэнтны). В общем случае для трапеции, не являющейся параллелограммом, эти две трапеции не будут подобны.

Ответ: Нет, в общем случае трапеции не будут подобны. Они подобны только в том случае, если исходная трапеция является параллелограммом.