Страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно сформулируйте признак подобия прямоугольных треугольников, являющийся следствием третьего признака подобия треугольников.

Для формулировки требуемого признака подобия необходимо сначала вспомнить третий признак подобия треугольников (по трем сторонам): если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теперь применим этот общий признак к частному случаю — прямоугольным треугольникам, чтобы вывести из него следствие.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, $△ABC$ с прямым углом $∠C$ и $△A_1B_1C_1$ с прямым углом $∠C_1$. Обозначим их стороны: $a, b$ – катеты и $c$ – гипотенуза для $△ABC$; $a_1, b_1$ – катеты и $c_1$ – гипотенуза для $△A_1B_1C_1$.

Согласно третьему признаку подобия, эти треугольники будут подобны ($△ABC \sim △A_1B_1C_1$), если выполняется равенство отношений всех трех пар соответствующих сторон:

$\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}$

Докажем, что для прямоугольных треугольников это условие будет выполнено, если пропорциональны только две пары сторон: гипотенуза и один из катетов. Это позволит сформулировать более простой признак.

Доказательство:

Пусть в двух прямоугольных треугольниках гипотенуза и катет одного пропорциональны гипотенузе и соответствующему катету другого. Для определенности, пусть:

$\frac{c}{c_1} = \frac{a}{a_1} = k$

где $k$ – коэффициент пропорциональности. Из этого соотношения следует, что $c = k \cdot c_1$ и $a = k \cdot a_1$. Наша задача — доказать, что отношение вторых катетов $\frac{b}{b_1}$ также равно $k$.

По теореме Пифагора для треугольника $△ABC$ имеем: $b^2 = c^2 - a^2$.

Подставим в это уравнение выражения для $c$ и $a$ через стороны треугольника $△A_1B_1C_1$ и коэффициент $k$:

$b^2 = (k \cdot c_1)^2 - (k \cdot a_1)^2 = k^2c_1^2 - k^2a_1^2 = k^2(c_1^2 - a_1^2)$

В то же время, по теореме Пифагора для треугольника $△A_1B_1C_1$, мы знаем, что $c_1^2 - a_1^2 = b_1^2$.

Подставим это в наше выражение для $b^2$:

$b^2 = k^2 \cdot b_1^2$

Поскольку длины сторон являются положительными величинами, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$b = k \cdot b_1$

Отсюда следует, что $\frac{b}{b_1} = k$.

Таким образом, мы показали, что из пропорциональности гипотенузы и одного катета ($\frac{c}{c_1} = \frac{a}{a_1} = k$) автоматически следует пропорциональность и второго катета ($\frac{b}{b_1} = k$). Это означает, что выполняется полное условие третьего признака подобия: $\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}$. Следовательно, треугольники подобны.

На основании этого доказательства мы можем сформулировать искомый признак.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и соответствующему катету другого, то такие треугольники подобны.

Ответ: Два прямоугольных треугольника подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и соответствующему катету другого.

1. Какие треугольники называются подобными?

2. Сформулируйте первый признак подобия треугольников.

3. Сформулируйте второй признак подобия треугольников.

4. Сформулируйте третий признак подобия треугольников.

5. Сформулируйте признаки подобия прямоугольных треугольников.

1. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого. Соответственными сторонами называются стороны, лежащие против равных углов.
Это означает, что для двух подобных треугольников, например $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ (обозначается как $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $), выполняются следующие условия:
1. Равенство углов: $ \angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1 $.
2. Пропорциональность сторон: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $.
Число $ k $, равное отношению соответственных сторон, называется коэффициентом подобия.
Ответ: Подобными называются треугольники, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны.

2.Первый признак подобия треугольников (по двум углам):
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Например, если для $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ выполняется $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $, то из этого следует, что $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $. Равенство третьих углов ($ \angle C = \angle C_1 $) следует из теоремы о сумме углов треугольника.
Ответ: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

3.Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Например, если для $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ выполняется $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $ и $ \angle A = \angle A_1 $, то из этого следует, что $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.
Ответ: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

4.Третий признак подобия треугольников (по трем сторонам):
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Например, если для $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ выполняется равенство отношений $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $, то из этого следует, что $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.
Ответ: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

5. Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями общих признаков подобия, но их формулировки упрощаются, так как у всех прямоугольных треугольников есть по одному равному углу — прямому углу ($ 90^\circ $).
Признак 1 (по острому углу): Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны. (Это следует из первого признака подобия, так как прямые углы у них также равны).
Признак 2 (по двум катетам): Если катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны катетам другого, то такие треугольники подобны. (Это следует из второго признака подобия, так как угол между катетами — прямой).
Признак 3 (по катету и гипотенузе): Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники подобны.
Ответ: Прямоугольные треугольники подобны: 1) по одному острому углу; 2) если их катеты пропорциональны; 3) если их катет и гипотенуза пропорциональны.

1. Подобны ли любые два:

а) равносторонних треугольника;

б) равнобедренных треугольника;

в) равнобедренных прямоугольных треугольника?

Для решения задачи воспользуемся признаками подобия треугольников. Два треугольника подобны, если выполняется одно из условий:
1. Два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого (признак по двум углам).
2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны (признак по двум сторонам и углу между ними).
3. Три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого (признак по трем сторонам).

а) равносторонних треугольника

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Следствием этого является то, что все углы в таком треугольнике также равны. Так как сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, то каждый угол равностороннего треугольника равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.
Таким образом, у любых двух равносторонних треугольников все углы будут одинаковы и равны $60^\circ$. Согласно первому признаку подобия (по двум углам), любые два равносторонних треугольника подобны.
Ответ: да, любые два равносторонних треугольника подобны.

б) равнобедренных треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. У такого треугольника углы при основании также равны. Однако величина этих углов может быть разной. Для подобия двух равнобедренных треугольников необходимо, чтобы их соответствующие углы были равны.
Рассмотрим два равнобедренных треугольника.
Треугольник 1: угол при вершине равен $40^\circ$. Тогда углы при основании равны $(180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.
Треугольник 2: угол при вершине равен $80^\circ$. Тогда углы при основании равны $(180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$. Углы этого треугольника: $80^\circ, 50^\circ, 50^\circ$.
Поскольку углы этих двух треугольников не равны, они не являются подобными. Следовательно, не любые два равнобедренных треугольника подобны.
Ответ: нет, не любые два равнобедренных треугольника подобны.

в) равнобедренных прямоугольных треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой ($90^\circ$). Если такой треугольник является равнобедренным, то его равные стороны — это катеты. Углы, противолежащие равным сторонам (катетам), также равны.
Пусть в равнобедренном прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Сумма двух других острых углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Так как эти два угла равны, то каждый из них равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.
Таким образом, у любого равнобедренного прямоугольного треугольника углы всегда равны $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$.
Поскольку у любых двух равнобедренных прямоугольных треугольников все три угла соответственно равны, они подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
Ответ: да, любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.