Страница 75 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $a$ и $b$. Каким должен быть отрезок $EF$, параллельный основаниям и делящий эту трапецию на две подобные трапеции (рис. 13.11)?

Рис. 13.11

Пусть основания трапеции $ABCD$ равны $AB = a$ и $CD = b$. Обозначим искомую длину отрезка $EF$ через $x$. По условию задачи, отрезок $EF$ параллелен основаниям и делит трапецию $ABCD$ на две подобные трапеции: верхнюю $EFCD$ и нижнюю $ABFE$.

Условие подобия двух многоугольников заключается в равенстве их соответствующих углов и пропорциональности их соответствующих сторон. Поскольку $EF \parallel AB \parallel CD$, равенство соответствующих углов у трапеций $EFCD$ и $ABFE$ автоматически выполняется.

Следовательно, для подобия необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие стороны были пропорциональны. Рассмотрим основания трапеций. В трапеции $EFCD$ основаниями являются отрезки $CD$ (длиной $b$) и $EF$ (длиной $x$). В трапеции $ABFE$ основаниями являются отрезки $EF$ (длиной $x$) и $AB$ (длиной $a$).

Примем, что $a > b$. Тогда, очевидно, $a > x > b$. В таком случае, в трапеции $EFCD$ меньшим основанием является $CD$, а большим — $EF$. В трапеции $ABFE$ меньшим основанием является $EF$, а большим — $AB$.

Из условия подобия трапеций $EFCD$ и $ABFE$ следует, что отношение их соответствующих сторон должно быть равным. В частности, отношение длин меньших оснований должно быть равно отношению длин больших оснований:

$\frac{\text{меньшее основание } EFCD}{\text{меньшее основание } ABFE} = \frac{\text{большее основание } EFCD}{\text{большее основание } ABFE}$

Подставим длины сторон:

$\frac{CD}{EF} = \frac{EF}{AB}$

Получаем пропорцию:

$\frac{b}{x} = \frac{x}{a}$

Для нахождения $x$ решим это уравнение. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$x \cdot x = a \cdot b$

$x^2 = ab$

Так как длина отрезка $x$ является положительной величиной, извлекаем арифметический квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt{ab}$

Таким образом, длина отрезка $EF$ должна быть равна среднему геометрическому длин оснований трапеции.

Ответ: $\sqrt{ab}$.

17. Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 12 и 3. Отрезок $EF$ параллелен основаниям и делит эту трапецию на две подобные трапеции (рис. 13.11). Найдите отрезок $EF$ и отношение $AE : ED$.

Рис. 13.11

Найдите отрезок EF

По условию задачи, отрезок EF, параллельный основаниям, делит трапецию ABCD на две подобные трапеции: ABEF и EFCD. Когда две трапеции подобны, отношения их соответственных сторон равны. Соответственными сторонами в данном случае являются:

• Нижнее основание первой трапеции (AB) и нижнее основание второй (EF).

• Верхнее основание первой трапеции (EF) и верхнее основание второй (CD).

• Боковые стороны (AE и ED, а также BF и FC).

Из подобия трапеций ABEF и EFCD следует, что отношение их оснований одинаково. Обозначим длину отрезка EF через $x$.

$\frac{AB}{EF} = \frac{EF}{CD}$

Подставим известные значения оснований $AB = 12$ и $CD = 3$ в данное соотношение:

$\frac{12}{x} = \frac{x}{3}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$x \cdot x = 12 \cdot 3$

$x^2 = 36$

Поскольку длина отрезка является положительным числом, находим значение $x$:

$x = \sqrt{36} = 6$

Таким образом, длина отрезка EF равна 6. Это значение является средним геометрическим длин оснований исходной трапеции.

Ответ: $EF = 6$.

Найдите отношение AE : ED

Из того же условия подобия трапеций ABEF и EFCD следует, что отношение их соответственных боковых сторон равно коэффициенту подобия. Для левых боковых сторон AE и ED это отношение записывается так:

$\frac{AE}{ED} = k$

где $k$ — коэффициент подобия. Мы можем найти этот коэффициент из отношения соответственных оснований, которые мы уже использовали:

$k = \frac{AB}{EF}$ или $k = \frac{EF}{CD}$

Подставим известные и найденные значения:

$k = \frac{12}{6} = 2$

Проверим по второй паре оснований:

$k = \frac{6}{3} = 2$

Коэффициент подобия равен 2. Следовательно, отношение боковых сторон AE и ED также равно 2:

$\frac{AE}{ED} = 2$

Это можно записать в виде отношения $AE : ED = 2 : 1$.

Ответ: $AE : ED = 2:1$.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

18. Повторите признаки равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны. Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Если выполняются следующие условия: 1. Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ ($AB = A_1B_1$).2. Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$).3. Угол $\angle A$, образованный сторонами $AB$ и $AC$, равен углу $\angle A_1$, образованному сторонами $A_1B_1$ и $A_1C_1$ ($\angle A = \angle A_1$).Тогда треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$. Из этого следует равенство всех остальных соответствующих элементов: $BC = B_1C_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$.
Ответ: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Если выполняются следующие условия:1. Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$).2. Угол $\angle A$, прилежащий к стороне $AC$, равен углу $\angle A_1$, прилежащему к стороне $A_1C_1$ ($\angle A = \angle A_1$).3. Угол $\angle C$, прилежащий к стороне $AC$, равен углу $\angle C_1$, прилежащему к стороне $A_1C_1$ ($\angle C = \angle C_1$).Тогда треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$. Из этого следует равенство всех остальных соответствующих элементов: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $\angle B = \angle B_1$.
Ответ: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Если выполняются следующие условия:1. Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ ($AB = A_1B_1$).2. Сторона $BC$ равна стороне $B_1C_1$ ($BC = B_1C_1$).3. Сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$ ($AC = A_1C_1$).Тогда треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$. Из этого следует равенство всех соответствующих углов: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$.
Ответ: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, помимо общих признаков, существуют также частные признаки равенства, которые упрощают доказательство.
1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. (Это частный случай первого признака, так как угол между катетами прямой и равен $90^\circ$).
2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. (Это частный случай второго признака).
3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
4. По гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольные с прямыми углами $\angle C$ и $\angle C_1$. Если гипотенуза $AB = A_1B_1$ и катет $AC = A_1C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Ответ: Прямоугольные треугольники равны по двум катетам; по катету и прилежащему острому углу; по гипотенузе и острому углу; по гипотенузе и катету.

19. Придумайте какие-нибудь признаки подобия треугольников.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Сходственные стороны — это стороны, лежащие против равных углов. Для того чтобы установить подобие двух треугольников, нет необходимости проверять все эти условия. Достаточно воспользоваться одним из трёх признаков подобия.

Первый признак подобия (по двум углам)

Формулировка: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Если $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $, то из этого следует, что $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $. Этот признак следует из того, что сумма углов треугольника всегда равна $180^\circ$. Если два угла в треугольниках соответственно равны, то и третьи углы также будут равны: $ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1) = \angle C_1 $. Таким образом, все соответствующие углы треугольников равны, и они подобны по определению.

Ответ: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия (по двум сторонам и углу между ними)

Формулировка: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ стороны $AB$ и $AC$ пропорциональны сторонам $A_1B_1$ и $A_1C_1$, а углы между ними равны: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $ и $ \angle A = \angle A_1 $. Тогда треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ подобны. Из этого условия следует, что и третья пара сторон будет иметь то же отношение $ \frac{BC}{B_1C_1} = k $, а остальные углы будут соответственно равны: $ \angle B = \angle B_1 $ и $ \angle C = \angle C_1 $.

Ответ: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия (по трём сторонам)

Формулировка: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Если для треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ выполняется соотношение $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $, то $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $. Пропорциональность всех сторон однозначно определяет углы треугольника (что можно показать, например, с помощью теоремы косинусов). Из этого условия следует равенство соответствующих углов: $ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $ и $ \angle C = \angle C_1 $.

Ответ: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.