Страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Пусть движение переводит отрезок $AB$ в отрезок $A'B'$. Докажите, что середина $C$ отрезка $AB$ перейдет в середину $C'$ отрезка $A'B'$.

Доказательство:

Пусть дано движение (изометрия), которое переводит отрезок $AB$ в отрезок $A'B'$. Это означает, что точка $A$ переходит в точку $A'$, а точка $B$ — в точку $B'$. Обозначим это движение как преобразование $f$, так что $f(A) = A'$ и $f(B) = B'$.

По определению, движение является преобразованием, сохраняющим расстояние между любыми двумя точками. Следовательно, длина отрезка $AB$ равна длине его образа, отрезка $A'B'$: $AB = A'B'$.

Пусть $C$ — середина отрезка $AB$. По определению середины отрезка, точка $C$ принадлежит отрезку $AB$ и делит его пополам, то есть выполняются два условия:
1. Точки $A, C, B$ лежат на одной прямой (коллинеарны).
2. Расстояния от $C$ до концов отрезка равны: $AC = CB = \frac{1}{2}AB$.

Пусть $C'$ — середина отрезка $A'B'$. Это означает, что $A'C' = C'B' = \frac{1}{2}A'B'$.

Рассмотрим образ точки $C$ при данном движении. Обозначим его $f(C) = D$. Нам необходимо доказать, что точка $D$ совпадает с точкой $C'$.

Используем свойства движения:

1. Сохранение расстояний. Расстояние между образами точек равно расстоянию между самими точками.
Следовательно, расстояние от $A'$ до $D$ равно расстоянию от $A$ до $C$: $A'D = AC$.
Аналогично, расстояние от $B'$ до $D$ равно расстоянию от $B$ до $C$: $B'D = BC$.
Поскольку $C$ — середина $AB$, мы знаем, что $AC = BC$. Из этого следует, что $A'D = B'D$. Таким образом, точка $D$ равноудалена от концов отрезка $A'B'$.

2. Сохранение коллинеарности. Движение переводит точки, лежащие на одной прямой, в точки, также лежащие на одной прямой.
Поскольку точки $A, C, B$ лежат на одной прямой, их образы $A', D, B'$ также должны лежать на одной прямой.

Итак, мы установили, что точка $D$ лежит на прямой, проходящей через $A'$ и $B'$, и при этом равноудалена от точек $A'$ и $B'$. Единственная точка на отрезке, удовлетворяющая этим условиям, — это его середина.

Поскольку $C'$ по определению является серединой отрезка $A'B'$, а точка $D$ обладает теми же свойствами, то точки $D$ и $C'$ должны совпадать: $D=C'$.

Таким образом, образ середины $C$ отрезка $AB$ есть середина $C'$ отрезка $A'B'$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. При движении середина отрезка переходит в середину его образа.

7. Пусть движение переводит угол $AOB$ в угол $A'O'B'$. Докажите, что биссектриса $OC$ угла $AOB$ перейдет в биссектрису $O'C'$ угла $A'O'B'$.

Доказательство:

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Ключевым свойством движения, необходимым для решения этой задачи, является то, что оно сохраняет величины углов.

По условию задачи, луч $OC$ является биссектрисой угла $AOB$. По определению биссектрисы, это означает, что луч $OC$ делит угол $AOB$ на два равных по величине угла: $\angle AOC = \angle COB$.

При заданном движении угол $AOB$ переходит в угол $A'O'B'$. Это означает, что лучи $OA$, $OB$ и $OC$ переходят в соответствующие лучи $O'A'$, $O'B'$ и $O'C'$. В результате этого преобразования угол $AOC$ переходит в угол $A'O'C'$, а угол $COB$ переходит в угол $C'O'B'$.

Поскольку движение сохраняет величины углов, мы можем утверждать, что величина каждого угла равна величине его образа: $\angle A'O'C' = \angle AOC$ и $\angle C'O'B' = \angle COB$.

Так как мы знаем, что $\angle AOC = \angle COB$, из этого следует, что их образы при движении также равны между собой: $\angle A'O'C' = \angle C'O'B'$.

Данное равенство показывает, что луч $O'C'$ делит угол $A'O'B'$ на два равных угла. Следовательно, по определению, луч $O'C'$ является биссектрисой угла $A'O'B'$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как движение сохраняет величины углов, из равенства углов $AOC$ и $COB$ следует равенство их образов — углов $A'O'C'$ и $C'O'B'$. Это означает, что образ биссектрисы $OC$ является биссектрисой $O'C'$ для образа угла $A'O'B'$.

8. Пусть движение переводит треугольник $ABC$ в треугольник $A'B'C'$. Докажите, что при этом высоты, медианы и биссектрисы треугольника $ABC$ перейдут в высоты, медианы и биссектрисы треугольника $A'B'C'$ соответственно.

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Пусть такое движение переводит треугольник $ABC$ в треугольник $A'B'C'$. Это означает, что вершины $A, B, C$ переходят в вершины $A', B', C'$ соответственно. Из сохранения расстояний следует, что движение также сохраняет углы, переводит прямые в прямые, а отрезки в равные им отрезки. На этих фундаментальных свойствах движения и будет основано доказательство для высот, медиан и биссектрис.

Высоты

Пусть $AH$ — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. По определению высоты, прямая $AH$ перпендикулярна прямой $BC$, то есть угол между ними равен $90^\circ$.

При заданном движении прямая $AH$ перейдет в некоторую прямую $A'H'$, а прямая $BC$ перейдет в прямую $B'C'$. Точка $A$ перейдет в $A'$, а точка $H$ (основание высоты на прямой $BC$) — в точку $H'$ на прямой $B'C'$.

Так как движение сохраняет углы, то угол между образами прямых, $A'H'$ и $B'C'$, будет равен углу между исходными прямыми, $AH$ и $BC$. Следовательно, прямая $A'H'$ будет перпендикулярна прямой $B'C'$.

Отрезок $A'H'$ соединяет вершину $A'$ треугольника $A'B'C'$ с точкой $H'$ на прямой, содержащей противолежащую сторону $B'C'$, и перпендикулярен ей. Это по определению означает, что $A'H'$ является высотой треугольника $A'B'C'$. Таким образом, высота $AH$ перешла в высоту $A'H'$. Аналогичное рассуждение справедливо для двух других высот.

Ответ: Доказано, что при движении высота треугольника переходит в соответствующую высоту, так как движение сохраняет перпендикулярность прямых.

Медианы

Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. По определению, $M$ — середина стороны $BC$, то есть $BM = MC$ и точка $M$ лежит на отрезке $BC$.

При движении отрезок $BC$ переходит в равный ему отрезок $B'C'$, а точка $M$ переходит в точку $M'$, принадлежащую отрезку $B'C'$. Отрезок $AM$ переходит в отрезок $A'M'$.

Поскольку движение сохраняет расстояния, то $B'M' = BM$ и $M'C' = MC$. Из исходного равенства $BM = MC$ следует, что и $B'M' = M'C'$. Это означает, что точка $M'$ является серединой стороны $B'C'$.

Следовательно, отрезок $A'M'$ соединяет вершину $A'$ с серединой противолежащей стороны $B'C'$ и является медианой треугольника $A'B'C'$. Таким образом, медиана $AM$ перешла в медиану $A'M'$. Аналогично для остальных медиан.

Ответ: Доказано, что при движении медиана треугольника переходит в соответствующую медиану, так как движение сохраняет расстояния и, как следствие, свойство точки быть серединой отрезка.

Биссектрисы

Пусть $AL$ — биссектриса угла $\angle BAC$ в треугольнике $ABC$. По определению, луч $AL$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла, то есть $\angle BAL = \angle LAC$.

При движении лучи $AB$, $AC$ и $AL$ переходят в лучи $A'B'$, $A'C'$ и $A'L'$ соответственно. Точка $L$ на стороне $BC$ переходит в точку $L'$ на стороне $B'C'$.

Движение сохраняет величину углов, поэтому $\angle B'A'L' = \angle BAL$ и $\angle L'A'C' = \angle LAC$. Так как по определению биссектрисы $\angle BAL = \angle LAC$, то отсюда следует, что $\angle B'A'L' = \angle L'A'C'$.

Это означает, что луч $A'L'$ делит угол $\angle B'A'C'$ пополам, то есть является его биссектрисой. Отрезок $A'L'$ является биссектрисой треугольника $A'B'C'$. Таким образом, биссектриса $AL$ перешла в биссектрису $A'L'$. Аналогично для других биссектрис.

Ответ: Доказано, что при движении биссектриса треугольника переходит в соответствующую биссектрису, так как движение сохраняет величины углов.

9. Докажите, что две окружности равны, если равны их радиусы.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом наложения.

Пусть нам даны две окружности. Первая окружность имеет центр в точке $O_1$ и радиус $R_1$. Вторая окружность имеет центр в точке $O_2$ и радиус $R_2$.

По условию задачи, их радиусы равны: $R_1 = R_2$. Обозначим это общее значение радиуса как $R$.

Две геометрические фигуры считаются равными, если их можно совместить друг с другом при помощи движения (параллельного переноса, поворота, симметрии) так, чтобы они полностью совпали.

Совместим центр первой окружности $O_1$ с центром второй окружности $O_2$ при помощи параллельного переноса плоскости. При таком движении все точки первой окружности переместятся вместе с ее центром, но форма и размеры фигуры сохранятся. Таким образом, радиус перемещенной первой окружности останется равным $R$.

После такого совмещения центров мы получим две окружности, у которых и центр (теперь это общая точка $O_1 \equiv O_2$), и радиус ($R$) совпадают.

Согласно определению, окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Так как у наших двух окружностей теперь общий центр и одинаковый радиус, то множества точек, принадлежащих каждой из окружностей, полностью совпадают.

Поскольку мы смогли совместить одну окружность с другой путем наложения, эти окружности являются равными.

Ответ: Утверждение доказано: две окружности равны, так как при совмещении их центров и в силу равенства их радиусов все точки одной окружности совпадают со всеми точками другой.

10. Для двух данных равных отрезков (рис. 12.7) укажите движение, переводящее один в другой.

Рис. 12.7

1. Анализ условия и данных с рисунка

Движением в геометрии называют преобразование, сохраняющее расстояния между точками (изометрию). Для того чтобы существовало движение, переводящее отрезок $AB$ в отрезок $CD$, необходимо, чтобы длины этих отрезков были равны, что и утверждается в условии задачи.

Введем на плоскости прямоугольную систему координат, приняв за единицу длины сторону одной клетки. Определим координаты концов отрезков по рисунку: $A(0, 3)$, $B(3, 2)$, $C(2, 4)$, $D(3, 6)$.

Теперь вычислим квадраты длин отрезков, используя формулу расстояния между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Для отрезка $AB$: $|AB|^2 = (3-0)^2 + (2-3)^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$.
Для отрезка $CD$: $|CD|^2 = (3-2)^2 + (6-4)^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

Поскольку $|AB|^2 \neq |CD|^2$, отрезки $AB$ и $CD$ на рисунке не равны. Это означает, что в условии или в самом рисунке содержится ошибка, так как не существует движения, которое переводит отрезок в отрезок другой длины.

2. Корректировка условия и нахождение движения

Наиболее вероятно, что на рисунке допущена небольшая опечатка в положении одной из точек. Предположим, что точка $C$ имеет координаты $(2, 3)$ вместо $(2, 4)$. Обозначим эту точку как $C'$. Проверим, будут ли в этом случае отрезки $AB$ и $C'D$ равны.
Длина отрезка $C'D$ с концами в точках $C'(2, 3)$ и $D(3, 6)$:
$|C'D|^2 = (3-2)^2 + (6-3)^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.

Теперь $|AB|^2 = |C'D|^2 = 10$, так что отрезки равны. Найдем движение, которое переводит отрезок $AB$ в отрезок $C'D$. Таким движением может быть поворот. Примем, что точка $A$ переходит в $C'$, а точка $B$ — в $D$.

Центр поворота $O$ равноудален от соответствующих точек, а значит, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам $AC'$ и $BD$.

- Серединный перпендикуляр к отрезку $AC'$ ($A(0, 3)$, $C'(2, 3)$): середина отрезка находится в точке $(1, 3)$. Так как отрезок $AC'$ горизонтален, его серединный перпендикуляр — это вертикальная прямая $x = 1$.

- Серединный перпендикуляр к отрезку $BD$ ($B(3, 2)$, $D(3, 6)$): середина отрезка находится в точке $(3, 4)$. Так как отрезок $BD$ вертикален, его серединный перпендикуляр — это горизонтальная прямая $y = 4$.

Точка пересечения этих двух прямых $x=1$ и $y=4$ и есть центр поворота $O(1, 4)$.

Определим угол поворота. Он равен углу между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OC'}$.
$\vec{OA} = (0-1, 3-4) = (-1, -1)$
$\vec{OC'} = (2-1, 3-4) = (1, -1)$
Найдем косинус угла $\alpha$ между ними:
$\cos \alpha = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OC'}}{|\vec{OA}| \cdot |\vec{OC'}|} = \frac{(-1)(1) + (-1)(-1)}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{-1+1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{0}{2} = 0$.
Следовательно, угол поворота $\alpha$ равен $90^\circ$ или $-90^\circ$. Поворот вектора $\vec{OA}$ в вектор $\vec{OC'}$ на координатной плоскости происходит против часовой стрелки, значит, угол поворота равен $+90^\circ$.

Таким образом, при условии исправления опечатки на рисунке, искомое движение — это поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг точки $(1, 4)$.

Ответ: В задаче имеется неточность: изображенные отрезки не равны. Если исправить положение точки $C$ на $(2, 3)$, то искомым движением будет поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг точки $(1, 4)$.

11. Для двух данных равных углов (рис. 12.8) укажите движение, переводящее один в другой.

12. ...

Рис. 12.8

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина нижнего угла, точка A, находится в начале координат, т.е. имеет координаты $A(0, 0)$. Стороны углов лежат на линиях сетки, поэтому, приняв сторону клетки за единицу, мы можем определить координаты других точек.

Вершина верхнего угла, точка C, смещена относительно точки A на 3 клетки вправо и 2 клетки вверх. Таким образом, ее координаты $C(3, 2)$.

Рассмотрим стороны углов как лучи, исходящие из их вершин.

Для угла с вершиной A:
- Один луч (назовем его $r_{A1}$) направлен вдоль положительной полуоси Ox. Его направляющий вектор $\vec{v_1} = (1, 0)$.
- Второй луч ($r_{A2}$) проходит через точку, смещенную от A на 3 клетки вправо и 2 клетки вниз. Его направляющий вектор $\vec{v_2} = (3, -2)$.

Для угла с вершиной C:
- Один луч ($r_{C1}$) направлен вдоль положительной полуоси Oy от точки C. Его направляющий вектор $\vec{u_1} = (0, 1)$.
- Второй луч ($r_{C2}$) проходит через точку, смещенную от C на 2 клетки влево и 3 клетки вверх. Его направляющий вектор $\vec{u_2} = (-2, 3)$.

Движение (изометрия) должно переводить вершину A в вершину C, а стороны угла A в стороны угла C. Проверим ориентацию углов. Ориентация пары векторов $(\vec{a}, \vec{b})$ определяется знаком их псевдоскалярного произведения (детерминанта).
- Для угла A: пара векторов $(\vec{v_1}, \vec{v_2})$. Детерминант: $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) - 3 \cdot 0 = -2$. Знак отрицательный, что соответствует вращению по часовой стрелке.
- Для угла C: пара векторов $(\vec{u_1}, \vec{u_2})$. Детерминант: $\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 = 2$. Знак положительный, что соответствует вращению против часовой стрелки.

Так как ориентации углов противоположны, движение, переводящее один угол в другой, является обратной изометрией, то есть осевой симметрией (отражением) или скользящей симметрией. Простая осевая симметрия не может перевести точку $A(0,0)$ в $C(3,2)$ и одновременно совместить стороны углов. Следовательно, искомое движение — это скользящая симметрия.

Скользящая симметрия — это композиция отражения относительно некоторой прямой (оси) и параллельного переноса на вектор, параллельный этой оси.

Ось скользящей симметрии проходит через середины отрезков, соединяющих соответствующие точки. Найдем пару соответствующих точек на сторонах углов. Пусть точка $P$ на луче $r_{A2}$ соответствует точке $P'$ на луче $r_{C2}$. Расстояние от вершины до точки должно сохраниться. Возьмем точку $P$ с координатами, равными вектору $\vec{v_2}$, то есть $P(3, -2)$. Расстояние $|AP| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$.Точка $P'$ на луче $r_{C2}$ должна находиться на таком же расстоянии от вершины C. Точки на этом луче имеют вид $C + t \cdot \vec{u_2} = (3, 2) + t(-2, 3)$ для $t \ge 0$. Расстояние $|CP'| = t \cdot |\vec{u_2}| = t \cdot \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = t\sqrt{13}$. Приравнивая расстояния, получаем $t=1$. Значит, точка $P'$ имеет координаты $(3 - 2, 2 + 3) = (1, 5)$.

Итак, у нас есть две пары соответствующих точек: $A(0, 0) \to C(3, 2)$ и $P(3, -2) \to P'(1, 5)$.
- Найдём середину отрезка AC: $M_{AC} = (\frac{0+3}{2}, \frac{0+2}{2}) = (1.5, 1)$.
- Найдём середину отрезка PP': $M_{PP'} = (\frac{3+1}{2}, \frac{-2+5}{2}) = (2, 1.5)$.

Ось скользящей симметрии $l$ проходит через точки $M_{AC}$ и $M_{PP'}$. Найдем ее уравнение.
- Угловой коэффициент (наклон) оси: $k = \frac{1.5 - 1}{2 - 1.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1$.
- Уравнение прямой: $y - y_1 = k(x - x_1) \implies y - 1 = 1(x - 1.5) \implies y = x - 0.5$.

Теперь найдем вектор переноса $\vec{s}$. Для этого отразим точку A относительно оси $l$ и найдем точку $A_r$. Вектор переноса будет равен вектору $\vec{A_r C}$.
- Точка $A_r(x_r, y_r)$ лежит на перпендикуляре к оси $l$, проходящем через A. Уравнение перпендикуляра: $y - 0 = -1(x - 0) \implies y = -x$.
- Найдем точку пересечения оси $l$ и перпендикуляра: $x - 0.5 = -x \implies 2x = 0.5 \implies x = 0.25$. Тогда $y = -0.25$. Эта точка $(0.25, -0.25)$ является серединой отрезка $AA_r$.
- Координаты $A_r$: $\frac{0+x_r}{2} = 0.25 \implies x_r = 0.5$; $\frac{0+y_r}{2} = -0.25 \implies y_r = -0.5$. Итак, $A_r(0.5, -0.5)$.
- Вектор переноса $\vec{s} = \vec{A_r C} = C - A_r = (3 - 0.5, 2 - (-0.5)) = (2.5, 2.5)$.

Вектор $\vec{s}=(2.5, 2.5)$ имеет наклон $\frac{2.5}{2.5} = 1$, что совпадает с наклоном оси $l$, как и должно быть.

Ответ: Искомое движение — это скользящая симметрия, которая является композицией отражения относительно прямой $y = x - 0.5$ и параллельного переноса на вектор $\vec{s} = (2.5, 2.5)$.

12. Докажите, что если у двух четырехугольников равны соответствующие стороны и равны соответствующие углы, то такие четырехугольники равны.

Для доказательства утверждения рассмотрим два четырехугольника, $ABCD$ и $A'B'C'D'$, для которых выполняются условия, изложенные в задаче. По определению, два многоугольника равны, если их можно совместить наложением. Докажем, что это возможно для данных четырехугольников.

Дано:
Четырехугольники $ABCD$ и $A'B'C'D'$, у которых:
1. Соответствующие стороны равны: $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CD = C'D'$, $DA = D'A'$.
2. Соответствующие углы равны: $\angle A = \angle A'$, $\angle B = \angle B'$, $\angle C = \angle C'$, $\angle D = \angle D'$.

Доказать:
Четырехугольник $ABCD$ равен четырехугольнику $A'B'C'D'$.

Доказательство:
Мы докажем равенство четырехугольников, разбив их на треугольники и доказав попарное равенство этих треугольников.

1. Проведем диагональ $AC$ в четырехугольнике $ABCD$ и диагональ $A'C'$ в четырехугольнике $A'B'C'D'$. Эти диагонали разделяют каждый четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ в первом случае, и $\triangle A'B'C'$ и $\triangle A'D'C'$ во втором.

2. Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$.
По условию, у них равны две стороны и угол между ними:
• $AB = A'B'$ (сторона)
• $\angle B = \angle B'$ (угол)
• $BC = B'C'$ (сторона)
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS), треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A'B'C'$.

3. Из равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ следует, что все их соответствующие элементы равны. В частности, равны их третьи стороны, то есть диагонали $AC$ и $A'C'$. Таким образом, $AC = A'C'$.

4. Теперь сравним треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle A'D'C'$. Для доказательства их равенства можно использовать несколько признаков.
Вариант а) По третьему признаку (SSS):
• $AD = A'D'$ (по условию)
• $CD = C'D'$ (по условию)
• $AC = A'C'$ (доказано в предыдущем пункте)
Так как три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то $\triangle ADC = \triangle A'D'C'$.
Вариант б) По первому признаку (SAS):
• $AD = A'D'$ (по условию)
• $\angle D = \angle D'$ (по условию)
• $CD = C'D'$ (по условию)
Следовательно, $\triangle ADC = \triangle A'D'C'$.

5. Мы установили, что четырехугольник $ABCD$ состоит из треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, а четырехугольник $A'B'C'D'$ состоит из соответственно равных им треугольников $\triangle A'B'C'$ и $\triangle A'D'C'$. Поскольку составляющие треугольники попарно равны и прилегают друг к другу по равным сторонам ($AC$ и $A'C'$), то и сами четырехугольники $ABCD$ и $A'B'C'D'$ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если у двух четырехугольников равны соответствующие стороны и равны соответствующие углы, то такие четырехугольники равны.

13. Придумайте какой-нибудь признак равенства параллелограммов. Докажите этот признак.

Формулировка признака

Два параллелограмма равны, если две смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

Доказательство

Пусть даны два параллелограмма $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

По условию сформулированного признака, у них равны две смежные стороны и угол между ними. Пусть это будут стороны $AB$ и $AD$ и угол $A$ для первого параллелограмма, и стороны $A_1B_1$ и $A_1D_1$ и угол $A_1$ для второго. Таким образом, нам дано:

1. $AB = A_1B_1$

2. $AD = A_1D_1$

3. $\angle A = \angle A_1$ (то есть $\angle DAB = \angle D_1A_1B_1$)

Требуется доказать, что параллелограмм $ABCD$ равен параллелограмму $A_1B_1C_1D_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$, которые образуются при проведении диагоналей $BD$ и $B_1D_1$ соответственно.

В этих треугольниках:

• сторона $AB = A_1B_1$ (по условию)
• сторона $AD = A_1D_1$ (по условию)
• угол $\angle DAB = \angle D_1A_1B_1$ (по условию)

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов: $BD = B_1D_1$, $\angle ADB = \angle A_1D_1B_1$ и $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle B_1C_1D_1$.

Используем свойства параллелограмма: противолежащие стороны равны. Значит, $BC = AD$ и $CD = AB$. Аналогично, $B_1C_1 = A_1D_1$ и $C_1D_1 = A_1B_1$.

Так как по условию $AD = A_1D_1$ и $AB = A_1B_1$, то мы получаем, что $BC = B_1C_1$ и $CD = C_1D_1$.

Сравним треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle B_1C_1D_1$. В них:

• сторона $BC = B_1C_1$ (как доказано выше)
• сторона $CD = C_1D_1$ (как доказано выше)
• сторона $BD = B_1D_1$ (из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$)

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle BCD \cong \triangle B_1C_1D_1$.

Мы получили, что параллелограмм $ABCD$, состоящий из треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$, складывается из двух треугольников, соответственно равных треугольникам $\triangle A_1B_1D_1$ и $\triangle B_1C_1D_1$, из которых состоит параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$. Это означает, что при наложении фигуры совместятся, то есть параллелограммы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Предложенный признак равенства параллелограммов (по двум смежным сторонам и углу между ними) доказан путем разбиения параллелограммов на треугольники и использования признаков равенства треугольников.

14. Докажите, что если у двух правильных $n$-угольников равны стороны, то эти $n$-угольники равны.

Пусть даны два правильных n-угольника, назовём их P₁ и P₂. По условию задачи, стороны этих n-угольников равны. Обозначим длину их стороны как a.

Два многоугольника считаются равными (конгруэнтными), если их можно совместить наложением. Для этого необходимо, чтобы у них были соответственно равны все стороны и все углы. Докажем, что для данных многоугольников это условие выполняется.

1. Сравнение сторон. По определению, правильный n-угольник является равносторонним, то есть все его n сторон равны между собой. Поскольку по условию задачи длина стороны каждого из многоугольников равна a, то все n сторон многоугольника P₁ равны a, и все n сторон многоугольника P₂ также равны a. Следовательно, все стороны одного многоугольника соответственно равны всем сторонам другого.

2. Сравнение углов. По определению, правильный n-угольник также является равноугольным, то есть все его n внутренних углов равны между собой. Величина внутреннего угла правильного n-угольника зависит только от количества его сторон n и вычисляется по формуле: $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $ Так как оба многоугольника являются n-угольниками, все их внутренние углы равны одной и той же величине $\alpha$. Следовательно, все углы одного многоугольника соответственно равны всем углам другого.

Поскольку мы показали, что у данных правильных n-угольников соответственно равны все стороны и все углы, то по определению равенства многоугольников они равны.

Ответ: Утверждение доказано. Два правильных n-угольника однозначно определяются количеством сторон n и длиной стороны a. Так как у рассматриваемых многоугольников эти параметры одинаковы, то и сами многоугольники равны.

15. Сколько имеется различных движений, переводящих правильный $n$-угольник$ в себя?

Движения, переводящие правильный $n$-угольник в себя, называются его симметриями. Все такие движения (изометрии плоскости) можно разделить на два типа: повороты вокруг центра многоугольника и отражения (осевые симметрии) относительно осей, проходящих через его центр.

Сначала рассмотрим повороты. Правильный $n$-угольник совмещается сам с собой при поворотах вокруг своего центра на углы, кратные $\frac{360^\circ}{n}$. Различными будут повороты на углы $k \cdot \frac{360^\circ}{n}$, где $k$ принимает целые значения от $0$ до $n-1$. Случай $k=0$ соответствует повороту на $0^\circ$, то есть тождественному преобразованию, которое оставляет многоугольник на месте и также считается движением. Таким образом, всего существует $n$ различных поворотов.

Теперь рассмотрим отражения. Количество осей симметрии у правильного $n$-угольника всегда равно $n$. Их расположение зависит от четности $n$:

• Если $n$ — нечетное число, то оси симметрии проходят через каждую из $n$ вершин и середину противолежащей ей стороны. Всего получается $n$ осей.

• Если $n$ — четное число, то существует два типа осей симметрии. Первый тип — это $n/2$ осей, проходящих через пары противолежащих вершин. Второй тип — это $n/2$ осей, проходящих через середины пар противолежащих сторон. В сумме это дает $n/2 + n/2 = n$ осей симметрии.

Каждая ось симметрии определяет уникальное движение-отражение. Следовательно, существует $n$ различных отражений.

Общее число различных движений, переводящих правильный $n$-угольник в себя, равно сумме числа поворотов и числа отражений. Итого получаем $n + n = 2n$ движений.

Ответ: $2n$.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

16. Отметьте какие-нибудь точки $O, A$ и $B$. Изобразите точки $A', B'$, для которых: а) $OA' = 2OA, OB' = 2OB$; б) $OA' = 3OA, OB' = 3OB$; в) $OA' = 0,5OA, OB' = 0,5OB$. В каком отношении находятся отрезки $A'B'$ и $AB$?

Для решения этой задачи мы будем использовать понятие подобных треугольников. Во всех трех случаях мы рассматриваем два треугольника: $\triangle OAB$ и $\triangle OA'B'$. У этих треугольников общая вершина O, а точки A' и B' строятся на лучах OA и OB соответственно. Это означает, что угол $\angle AOB$ является общим для обоих треугольников.

а)

По условию дано, что $OA' = 2OA$ и $OB' = 2OB$. Это означает, что точка A' лежит на луче OA на расстоянии от O, вдвое большем, чем точка A, и аналогично для точек B' и B на луче OB.

Рассмотрим треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$.
1. Угол $\angle AOB$ у них общий.
2. Отношения сторон, образующих этот угол, равны: $\frac{OA'}{OA} = 2$ и $\frac{OB'}{OB} = 2$.

Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$ подобны по второму признаку подобия. Коэффициент подобия $k=2$.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин третьих сторон также равно коэффициенту подобия:

$\frac{A'B'}{AB} = k = 2$

Это означает, что отрезок $A'B'$ в два раза длиннее отрезка $AB$. Кроме того, из подобия следует, что отрезки $A'B'$ и $AB$ параллельны.

Ответ: Отношение отрезков $\frac{A'B'}{AB} = 2$.

б)

По условию дано, что $OA' = 3OA$ и $OB' = 3OB$.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$. У них общий угол $\angle AOB$ и пропорциональные стороны:

$\frac{OA'}{OA} = 3$ и $\frac{OB'}{OB} = 3$.

Следовательно, треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$ подобны с коэффициентом подобия $k=3$.

Отношение длин третьих сторон равно коэффициенту подобия:

$\frac{A'B'}{AB} = k = 3$

Отрезок $A'B'$ в три раза длиннее отрезка $AB$ и параллелен ему.

Ответ: Отношение отрезков $\frac{A'B'}{AB} = 3$.

в)

По условию дано, что $OA' = 0,5OA$ и $OB' = 0,5OB$. В этом случае точка A' является серединой отрезка OA, а точка B' — серединой отрезка OB.

Снова рассмотрим треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$. У них общий угол $\angle AOB$ и пропорциональные стороны:

$\frac{OA'}{OA} = 0,5$ и $\frac{OB'}{OB} = 0,5$.

Следовательно, треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$ подобны с коэффициентом подобия $k=0,5$.

Отношение длин третьих сторон равно коэффициенту подобия:

$\frac{A'B'}{AB} = k = 0,5$

Это означает, что отрезок $A'B'$ является средней линией треугольника $\triangle OAB$ (если точки O, A, B не лежат на одной прямой), он параллелен основанию $AB$ и равен его половине.

Ответ: Отношение отрезков $\frac{A'B'}{AB} = 0,5$.

17. Повторите понятие площади и его свойства.

Понятие площади

Площадь — это положительная величина, которая является численной характеристикой двумерной (плоской) геометрической фигуры и показывает размер этой фигуры. Говоря простыми словами, площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Для измерения площади используются квадратные единицы, например, квадратный сантиметр ($см^2$), квадратный метр ($м^2$) и т.д. Каждой простой плоской фигуре ставится в соответствие неотрицательное число, которое и называется её площадью.

Свойства площади

Площадь любой плоской фигуры удовлетворяет следующим основным свойствам (аксиомам):

1. Неотрицательность. Площадь любой геометрической фигуры является неотрицательным числом. То есть, для любой фигуры $F$ её площадь $S(F) \ge 0$. Площадь равна нулю только для вырожденных фигур, не содержащих внутренних точек, например, для точки или отрезка прямой.

2. Аддитивность. Если фигура $F$ разделена на несколько частей $F_1, F_2, \dots, F_n$, которые не имеют общих внутренних точек (т.е. могут пересекаться только по своим границам), то площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей. Математически: $S(F) = S(F_1) + S(F_2) + \dots + S(F_n)$.

3. Инвариантность (свойство равных фигур). Равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные площади. Если фигура $F_1$ равна фигуре $F_2$ (обозначается $F_1 \cong F_2$), то их площади также равны: $S(F_1) = S(F_2)$. Это означает, что площадь фигуры не меняется при её перемещении по плоскости (параллельном переносе, повороте) или зеркальном отражении.

4. Нормированность (свойство единичного квадрата). Площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины (например, 1 см, 1 м), принимается равной единице измерения площади (1 $см^2$, 1 $м^2$ соответственно). Этот квадрат называется единичным и служит эталоном для измерения площадей других фигур.

Ответ: Площадь — это неотрицательная численная характеристика, измеряющая размер плоской фигуры. Ключевые свойства площади: 1) площадь всегда неотрицательна ($S \ge 0$); 2) площадь фигуры равна сумме площадей её непересекающихся частей (аддитивность); 3) равные фигуры имеют равные площади (инвариантность); 4) площадь единичного квадрата равна единице (нормированность).