Номер 9, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Докажите, что две окружности равны, если равны их радиусы.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом наложения.

Пусть нам даны две окружности. Первая окружность имеет центр в точке $O_1$ и радиус $R_1$. Вторая окружность имеет центр в точке $O_2$ и радиус $R_2$.

По условию задачи, их радиусы равны: $R_1 = R_2$. Обозначим это общее значение радиуса как $R$.

Две геометрические фигуры считаются равными, если их можно совместить друг с другом при помощи движения (параллельного переноса, поворота, симметрии) так, чтобы они полностью совпали.

Совместим центр первой окружности $O_1$ с центром второй окружности $O_2$ при помощи параллельного переноса плоскости. При таком движении все точки первой окружности переместятся вместе с ее центром, но форма и размеры фигуры сохранятся. Таким образом, радиус перемещенной первой окружности останется равным $R$.

После такого совмещения центров мы получим две окружности, у которых и центр (теперь это общая точка $O_1 \equiv O_2$), и радиус ($R$) совпадают.

Согласно определению, окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Так как у наших двух окружностей теперь общий центр и одинаковый радиус, то множества точек, принадлежащих каждой из окружностей, полностью совпадают.

Поскольку мы смогли совместить одну окружность с другой путем наложения, эти окружности являются равными.

Ответ: Утверждение доказано: две окружности равны, так как при совмещении их центров и в силу равенства их радиусов все точки одной окружности совпадают со всеми точками другой.