Номер 13, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Придумайте какой-нибудь признак равенства параллелограммов. Докажите этот признак.

Формулировка признака

Два параллелограмма равны, если две смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

Доказательство

Пусть даны два параллелограмма $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

По условию сформулированного признака, у них равны две смежные стороны и угол между ними. Пусть это будут стороны $AB$ и $AD$ и угол $A$ для первого параллелограмма, и стороны $A_1B_1$ и $A_1D_1$ и угол $A_1$ для второго. Таким образом, нам дано:

1. $AB = A_1B_1$

2. $AD = A_1D_1$

3. $\angle A = \angle A_1$ (то есть $\angle DAB = \angle D_1A_1B_1$)

Требуется доказать, что параллелограмм $ABCD$ равен параллелограмму $A_1B_1C_1D_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$, которые образуются при проведении диагоналей $BD$ и $B_1D_1$ соответственно.

В этих треугольниках:

• сторона $AB = A_1B_1$ (по условию)
• сторона $AD = A_1D_1$ (по условию)
• угол $\angle DAB = \angle D_1A_1B_1$ (по условию)

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов: $BD = B_1D_1$, $\angle ADB = \angle A_1D_1B_1$ и $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle B_1C_1D_1$.

Используем свойства параллелограмма: противолежащие стороны равны. Значит, $BC = AD$ и $CD = AB$. Аналогично, $B_1C_1 = A_1D_1$ и $C_1D_1 = A_1B_1$.

Так как по условию $AD = A_1D_1$ и $AB = A_1B_1$, то мы получаем, что $BC = B_1C_1$ и $CD = C_1D_1$.

Сравним треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle B_1C_1D_1$. В них:

• сторона $BC = B_1C_1$ (как доказано выше)
• сторона $CD = C_1D_1$ (как доказано выше)
• сторона $BD = B_1D_1$ (из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$)

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle BCD \cong \triangle B_1C_1D_1$.

Мы получили, что параллелограмм $ABCD$, состоящий из треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$, складывается из двух треугольников, соответственно равных треугольникам $\triangle A_1B_1D_1$ и $\triangle B_1C_1D_1$, из которых состоит параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$. Это означает, что при наложении фигуры совместятся, то есть параллелограммы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Предложенный признак равенства параллелограммов (по двум смежным сторонам и углу между ними) доказан путем разбиения параллелограммов на треугольники и использования признаков равенства треугольников.