Номер 15, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Сколько имеется различных движений, переводящих правильный $n$-угольник$ в себя?

Движения, переводящие правильный $n$-угольник в себя, называются его симметриями. Все такие движения (изометрии плоскости) можно разделить на два типа: повороты вокруг центра многоугольника и отражения (осевые симметрии) относительно осей, проходящих через его центр.

Сначала рассмотрим повороты. Правильный $n$-угольник совмещается сам с собой при поворотах вокруг своего центра на углы, кратные $\frac{360^\circ}{n}$. Различными будут повороты на углы $k \cdot \frac{360^\circ}{n}$, где $k$ принимает целые значения от $0$ до $n-1$. Случай $k=0$ соответствует повороту на $0^\circ$, то есть тождественному преобразованию, которое оставляет многоугольник на месте и также считается движением. Таким образом, всего существует $n$ различных поворотов.

Теперь рассмотрим отражения. Количество осей симметрии у правильного $n$-угольника всегда равно $n$. Их расположение зависит от четности $n$:

• Если $n$ — нечетное число, то оси симметрии проходят через каждую из $n$ вершин и середину противолежащей ей стороны. Всего получается $n$ осей.

• Если $n$ — четное число, то существует два типа осей симметрии. Первый тип — это $n/2$ осей, проходящих через пары противолежащих вершин. Второй тип — это $n/2$ осей, проходящих через середины пар противолежащих сторон. В сумме это дает $n/2 + n/2 = n$ осей симметрии.

Каждая ось симметрии определяет уникальное движение-отражение. Следовательно, существует $n$ различных отражений.

Общее число различных движений, переводящих правильный $n$-угольник в себя, равно сумме числа поворотов и числа отражений. Итого получаем $n + n = 2n$ движений.

Ответ: $2n$.