Номер 17, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Повторите понятие площади и его свойства.

Понятие площади

Площадь — это положительная величина, которая является численной характеристикой двумерной (плоской) геометрической фигуры и показывает размер этой фигуры. Говоря простыми словами, площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Для измерения площади используются квадратные единицы, например, квадратный сантиметр ($см^2$), квадратный метр ($м^2$) и т.д. Каждой простой плоской фигуре ставится в соответствие неотрицательное число, которое и называется её площадью.

Свойства площади

Площадь любой плоской фигуры удовлетворяет следующим основным свойствам (аксиомам):

1. Неотрицательность. Площадь любой геометрической фигуры является неотрицательным числом. То есть, для любой фигуры $F$ её площадь $S(F) \ge 0$. Площадь равна нулю только для вырожденных фигур, не содержащих внутренних точек, например, для точки или отрезка прямой.

2. Аддитивность. Если фигура $F$ разделена на несколько частей $F_1, F_2, \dots, F_n$, которые не имеют общих внутренних точек (т.е. могут пересекаться только по своим границам), то площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей. Математически: $S(F) = S(F_1) + S(F_2) + \dots + S(F_n)$.

3. Инвариантность (свойство равных фигур). Равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные площади. Если фигура $F_1$ равна фигуре $F_2$ (обозначается $F_1 \cong F_2$), то их площади также равны: $S(F_1) = S(F_2)$. Это означает, что площадь фигуры не меняется при её перемещении по плоскости (параллельном переносе, повороте) или зеркальном отражении.

4. Нормированность (свойство единичного квадрата). Площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины (например, 1 см, 1 м), принимается равной единице измерения площади (1 $см^2$, 1 $м^2$ соответственно). Этот квадрат называется единичным и служит эталоном для измерения площадей других фигур.

Ответ: Площадь — это неотрицательная численная характеристика, измеряющая размер плоской фигуры. Ключевые свойства площади: 1) площадь всегда неотрицательна ($S \ge 0$); 2) площадь фигуры равна сумме площадей её непересекающихся частей (аддитивность); 3) равные фигуры имеют равные площади (инвариантность); 4) площадь единичного квадрата равна единице (нормированность).