Номер 16, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

16. Отметьте какие-нибудь точки $O, A$ и $B$. Изобразите точки $A', B'$, для которых: а) $OA' = 2OA, OB' = 2OB$; б) $OA' = 3OA, OB' = 3OB$; в) $OA' = 0,5OA, OB' = 0,5OB$. В каком отношении находятся отрезки $A'B'$ и $AB$?

Для решения этой задачи мы будем использовать понятие подобных треугольников. Во всех трех случаях мы рассматриваем два треугольника: $\triangle OAB$ и $\triangle OA'B'$. У этих треугольников общая вершина O, а точки A' и B' строятся на лучах OA и OB соответственно. Это означает, что угол $\angle AOB$ является общим для обоих треугольников.

а)

По условию дано, что $OA' = 2OA$ и $OB' = 2OB$. Это означает, что точка A' лежит на луче OA на расстоянии от O, вдвое большем, чем точка A, и аналогично для точек B' и B на луче OB.

Рассмотрим треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$.
1. Угол $\angle AOB$ у них общий.
2. Отношения сторон, образующих этот угол, равны: $\frac{OA'}{OA} = 2$ и $\frac{OB'}{OB} = 2$.

Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$ подобны по второму признаку подобия. Коэффициент подобия $k=2$.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин третьих сторон также равно коэффициенту подобия:

$\frac{A'B'}{AB} = k = 2$

Это означает, что отрезок $A'B'$ в два раза длиннее отрезка $AB$. Кроме того, из подобия следует, что отрезки $A'B'$ и $AB$ параллельны.

Ответ: Отношение отрезков $\frac{A'B'}{AB} = 2$.

б)

По условию дано, что $OA' = 3OA$ и $OB' = 3OB$.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$. У них общий угол $\angle AOB$ и пропорциональные стороны:

$\frac{OA'}{OA} = 3$ и $\frac{OB'}{OB} = 3$.

Следовательно, треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$ подобны с коэффициентом подобия $k=3$.

Отношение длин третьих сторон равно коэффициенту подобия:

$\frac{A'B'}{AB} = k = 3$

Отрезок $A'B'$ в три раза длиннее отрезка $AB$ и параллелен ему.

Ответ: Отношение отрезков $\frac{A'B'}{AB} = 3$.

в)

По условию дано, что $OA' = 0,5OA$ и $OB' = 0,5OB$. В этом случае точка A' является серединой отрезка OA, а точка B' — серединой отрезка OB.

Снова рассмотрим треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$. У них общий угол $\angle AOB$ и пропорциональные стороны:

$\frac{OA'}{OA} = 0,5$ и $\frac{OB'}{OB} = 0,5$.

Следовательно, треугольники $\triangle OA'B'$ и $\triangle OAB$ подобны с коэффициентом подобия $k=0,5$.

Отношение длин третьих сторон равно коэффициенту подобия:

$\frac{A'B'}{AB} = k = 0,5$

Это означает, что отрезок $A'B'$ является средней линией треугольника $\triangle OAB$ (если точки O, A, B не лежат на одной прямой), он параллелен основанию $AB$ и равен его половине.

Ответ: Отношение отрезков $\frac{A'B'}{AB} = 0,5$.