Номер 4, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Изобразите треугольник, полученный гомотетией треугольника $ABC$ относительно центра $O$ с коэффициентом $0.5$ (рис. 13.7).

а)

б)

Рис. 13.7

Гомотетия с центром O и коэффициентом $k$ — это преобразование, при котором каждая точка M переходит в такую точку M₁, что выполняется векторное равенство $\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$.

В данной задаче коэффициент гомотетии $k = 0,5$. Это означает, что для любой точки M её образ M₁ будет являться серединой отрезка OM. Чтобы построить треугольник A₁B₁C₁, гомотетичный треугольнику ABC, нужно найти образы его вершин A, B, C, которые будут серединами отрезков OA, OB и OC соответственно, и затем соединить полученные точки.

а)

Для нахождения вершин искомого треугольника A₁B₁C₁ определим положение вершин A, B, C относительно центра O, приняв O за начало координат (0,0). Одна клетка сетки соответствует единице длины. Вершина A имеет координаты $(-3, -1)$ относительно точки O (смещение на 3 клетки влево и 1 клетку вниз). Вершина B имеет координаты $(3, -1)$ относительно точки O (смещение на 3 клетки вправо и 1 клетку вниз). Вершина C имеет координаты $(0, 2)$ относительно точки O (смещение на 2 клетки вверх).

Координаты вершин гомотетичного треугольника A₁B₁C₁ находим, умножая координаты вершин A, B, C на коэффициент $k=0,5$:
Координаты A₁: $(-3 \cdot 0,5; -1 \cdot 0,5) = (-1,5; -0,5)$. Это означает, что точка A₁ смещена от O на 1,5 клетки влево и 0,5 клетки вниз.
Координаты B₁: $(3 \cdot 0,5; -1 \cdot 0,5) = (1,5; -0,5)$. Это означает, что точка B₁ смещена от O на 1,5 клетки вправо и 0,5 клетки вниз.
Координаты C₁: $(0 \cdot 0,5; 2 \cdot 0,5) = (0; 1)$. Это означает, что точка C₁ смещена от O на 1 клетку вверх.

Соединив точки A₁, B₁, C₁ отрезками, получаем искомый треугольник.

Ответ: Искомый треугольник A₁B₁C₁ — это треугольник с вершинами в серединах отрезков OA, OB и OC. Его можно построить, отметив точки A₁, B₁, C₁ согласно их смещению от центра O: A₁(-1.5, -0.5), B₁(1.5, -0.5), C₁(0, 1), где координаты даны в системе с началом в точке O.

б)

Действуем аналогично пункту а). Примем центр гомотетии O за начало координат (0,0) и определим координаты вершин треугольника ABC относительно этой точки. Вершина A имеет координаты $(-3, 1)$ относительно точки O (смещение на 3 клетки влево и 1 клетку вверх). Вершина B имеет координаты $(2, -1)$ относительно точки O (смещение на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз). Вершина C имеет координаты $(0, 2)$ относительно точки O (смещение на 2 клетки вверх).

Находим координаты вершин A₁, B₁, C₁ нового треугольника, умножая координаты вершин A, B, C на коэффициент $k=0,5$:
Координаты A₁: $(-3 \cdot 0,5; 1 \cdot 0,5) = (-1,5; 0,5)$. Точка A₁ смещена от O на 1,5 клетки влево и 0,5 клетки вверх.
Координаты B₁: $(2 \cdot 0,5; -1 \cdot 0,5) = (1; -0,5)$. Точка B₁ смещена от O на 1 клетку вправо и 0,5 клетки вниз.
Координаты C₁: $(0 \cdot 0,5; 2 \cdot 0,5) = (0; 1)$. Точка C₁ смещена от O на 1 клетку вверх.

Соединив точки A₁, B₁, C₁ отрезками, получаем искомый треугольник A₁B₁C₁.

Ответ: Искомый треугольник A₁B₁C₁ имеет вершины в точках, являющихся серединами отрезков OA, OB и OC. Его можно построить, отметив вершины A₁, B₁, C₁ по их координатам относительно центра O: A₁(-1.5, 0.5), B₁(1, -0.5), C₁(0, 1).