Вопросы, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какое преобразование плоскости называется подобием?

2. Что называется коэффициентом подобия?

3. Какое преобразование плоскости называется гомотетией?

4. Что называется центром и коэффициентом гомотетии?

5. Сформулируйте свойства подобия.

6. Как связаны между собой площади подобных фигур?

1. Какое преобразование плоскости называется подобием?
Преобразование фигуры $F$ в фигуру $F'$, при котором для любых двух точек $M$ и $N$ фигуры $F$ и их образов $M'$ и $N'$ фигуры $F'$ выполняется соотношение $M'N' = k \cdot MN$, называется преобразованием подобия. Здесь $k$ — это некоторое положительное число, которое называется коэффициентом подобия. Иначе говоря, подобие — это преобразование, которое изменяет все расстояния в одно и то же число раз.
Ответ: Преобразованием подобия называется преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в одно и то же число раз $k > 0$.

2. Что называется коэффициентом подобия?
Коэффициентом подобия называется положительное число $k$, показывающее, во сколько раз изменяются расстояния между точками при преобразовании подобия. Если $M$ и $N$ — произвольные точки плоскости, а $M'$ и $N'$ — их образы при преобразовании подобия, то коэффициент подобия $k$ находится из соотношения $k = \frac{M'N'}{MN}$. Если $k > 1$, происходит увеличение (растяжение). Если $0 < k < 1$, происходит уменьшение (сжатие). Если $k = 1$, преобразование подобия является движением (изометрией).
Ответ: Коэффициентом подобия называется число $k > 0$, равное отношению расстояния между образами двух точек к расстоянию между самими точками.

3. Какое преобразование плоскости называется гомотетией?
Гомотетией с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ ($k \ne 0$) называется преобразование плоскости, которое переводит каждую точку $M$ в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Это означает, что точки $O$, $M$ и $M'$ лежат на одной прямой. При $k>0$ точки $M$ и $M'$ лежат по одну сторону от центра $O$, а при $k<0$ — по разные стороны. Гомотетия является частным случаем преобразования подобия.
Ответ: Гомотетия — это преобразование плоскости относительно центра $O$, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$, лежащую на прямой $OM$, так, что $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $k$ — ненулевое число.

4. Что называется центром и коэффициентом гомотетии?
Центр гомотетии — это единственная неподвижная точка $O$ на плоскости (если $k \ne 1$), относительно которой происходит преобразование. Все прямые, соединяющие исходную точку $M$ и ее образ $M'$, проходят через центр гомотетии $O$.
Коэффициент гомотетии — это ненулевое число $k$, которое определяет масштаб и направление преобразования. Величина $|k|$ показывает, во сколько раз расстояние от центра до образа точки отличается от расстояния от центра до исходной точки ($OM' = |k| \cdot OM$), а знак $k$ определяет, будет ли образ $M'$ лежать на луче $OM$ (если $k>0$) или на его дополнении (если $k<0$).
Ответ: Центр гомотетии — это неподвижная точка, из которой "исходят" лучи преобразования. Коэффициент гомотетии — это ненулевое число $k$, определяющее масштаб и направление преобразования для каждой точки.

5. Сформулируйте свойства подобия.
Основные свойства преобразования подобия:
1. Преобразование подобия переводит прямые в прямые, лучи в лучи, отрезки в отрезки.
2. Преобразование подобия сохраняет углы между лучами.
3. Любая фигура переводится в подобную ей фигуру.
4. Композиция (последовательное применение) двух преобразований подобия с коэффициентами $k_1$ и $k_2$ является преобразованием подобия с коэффициентом $k = k_1 \cdot k_2$.
5. Преобразование, обратное преобразованию подобия с коэффициентом $k$, также является преобразованием подобия с коэффициентом $\frac{1}{k}$.
Ответ: Подобие переводит прямые в прямые, сохраняет углы, переводит фигуры в подобные им, а отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

6. Как связаны между собой площади подобных фигур?
Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Если фигура $F_1$ подобна фигуре $F_2$ с коэффициентом подобия $k$, а их площади равны $S_1$ и $S_2$ соответственно, то их отношение выражается формулой: $\frac{S_2}{S_1} = k^2$. Это свойство следует из того, что при подобии все линейные размеры фигуры (длины, высоты, медианы и т.д.) умножаются на $k$, а площадь, имеющая размерность квадрата длины, изменяется в $k \cdot k = k^2$ раз.
Ответ: Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($S'/S = k^2$).