Номер 12, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что если у двух четырехугольников равны соответствующие стороны и равны соответствующие углы, то такие четырехугольники равны.

Для доказательства утверждения рассмотрим два четырехугольника, $ABCD$ и $A'B'C'D'$, для которых выполняются условия, изложенные в задаче. По определению, два многоугольника равны, если их можно совместить наложением. Докажем, что это возможно для данных четырехугольников.

Дано:
Четырехугольники $ABCD$ и $A'B'C'D'$, у которых:
1. Соответствующие стороны равны: $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, $CD = C'D'$, $DA = D'A'$.
2. Соответствующие углы равны: $\angle A = \angle A'$, $\angle B = \angle B'$, $\angle C = \angle C'$, $\angle D = \angle D'$.

Доказать:
Четырехугольник $ABCD$ равен четырехугольнику $A'B'C'D'$.

Доказательство:
Мы докажем равенство четырехугольников, разбив их на треугольники и доказав попарное равенство этих треугольников.

1. Проведем диагональ $AC$ в четырехугольнике $ABCD$ и диагональ $A'C'$ в четырехугольнике $A'B'C'D'$. Эти диагонали разделяют каждый четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ в первом случае, и $\triangle A'B'C'$ и $\triangle A'D'C'$ во втором.

2. Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$.
По условию, у них равны две стороны и угол между ними:
• $AB = A'B'$ (сторона)
• $\angle B = \angle B'$ (угол)
• $BC = B'C'$ (сторона)
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS), треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A'B'C'$.

3. Из равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ следует, что все их соответствующие элементы равны. В частности, равны их третьи стороны, то есть диагонали $AC$ и $A'C'$. Таким образом, $AC = A'C'$.

4. Теперь сравним треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle A'D'C'$. Для доказательства их равенства можно использовать несколько признаков.
Вариант а) По третьему признаку (SSS):
• $AD = A'D'$ (по условию)
• $CD = C'D'$ (по условию)
• $AC = A'C'$ (доказано в предыдущем пункте)
Так как три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то $\triangle ADC = \triangle A'D'C'$.
Вариант б) По первому признаку (SAS):
• $AD = A'D'$ (по условию)
• $\angle D = \angle D'$ (по условию)
• $CD = C'D'$ (по условию)
Следовательно, $\triangle ADC = \triangle A'D'C'$.

5. Мы установили, что четырехугольник $ABCD$ состоит из треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, а четырехугольник $A'B'C'D'$ состоит из соответственно равных им треугольников $\triangle A'B'C'$ и $\triangle A'D'C'$. Поскольку составляющие треугольники попарно равны и прилегают друг к другу по равным сторонам ($AC$ и $A'C'$), то и сами четырехугольники $ABCD$ и $A'B'C'D'$ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если у двух четырехугольников равны соответствующие стороны и равны соответствующие углы, то такие четырехугольники равны.