Номер 8, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Пусть движение переводит треугольник $ABC$ в треугольник $A'B'C'$. Докажите, что при этом высоты, медианы и биссектрисы треугольника $ABC$ перейдут в высоты, медианы и биссектрисы треугольника $A'B'C'$ соответственно.

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Пусть такое движение переводит треугольник $ABC$ в треугольник $A'B'C'$. Это означает, что вершины $A, B, C$ переходят в вершины $A', B', C'$ соответственно. Из сохранения расстояний следует, что движение также сохраняет углы, переводит прямые в прямые, а отрезки в равные им отрезки. На этих фундаментальных свойствах движения и будет основано доказательство для высот, медиан и биссектрис.

Высоты

Пусть $AH$ — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. По определению высоты, прямая $AH$ перпендикулярна прямой $BC$, то есть угол между ними равен $90^\circ$.

При заданном движении прямая $AH$ перейдет в некоторую прямую $A'H'$, а прямая $BC$ перейдет в прямую $B'C'$. Точка $A$ перейдет в $A'$, а точка $H$ (основание высоты на прямой $BC$) — в точку $H'$ на прямой $B'C'$.

Так как движение сохраняет углы, то угол между образами прямых, $A'H'$ и $B'C'$, будет равен углу между исходными прямыми, $AH$ и $BC$. Следовательно, прямая $A'H'$ будет перпендикулярна прямой $B'C'$.

Отрезок $A'H'$ соединяет вершину $A'$ треугольника $A'B'C'$ с точкой $H'$ на прямой, содержащей противолежащую сторону $B'C'$, и перпендикулярен ей. Это по определению означает, что $A'H'$ является высотой треугольника $A'B'C'$. Таким образом, высота $AH$ перешла в высоту $A'H'$. Аналогичное рассуждение справедливо для двух других высот.

Ответ: Доказано, что при движении высота треугольника переходит в соответствующую высоту, так как движение сохраняет перпендикулярность прямых.

Медианы

Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. По определению, $M$ — середина стороны $BC$, то есть $BM = MC$ и точка $M$ лежит на отрезке $BC$.

При движении отрезок $BC$ переходит в равный ему отрезок $B'C'$, а точка $M$ переходит в точку $M'$, принадлежащую отрезку $B'C'$. Отрезок $AM$ переходит в отрезок $A'M'$.

Поскольку движение сохраняет расстояния, то $B'M' = BM$ и $M'C' = MC$. Из исходного равенства $BM = MC$ следует, что и $B'M' = M'C'$. Это означает, что точка $M'$ является серединой стороны $B'C'$.

Следовательно, отрезок $A'M'$ соединяет вершину $A'$ с серединой противолежащей стороны $B'C'$ и является медианой треугольника $A'B'C'$. Таким образом, медиана $AM$ перешла в медиану $A'M'$. Аналогично для остальных медиан.

Ответ: Доказано, что при движении медиана треугольника переходит в соответствующую медиану, так как движение сохраняет расстояния и, как следствие, свойство точки быть серединой отрезка.

Биссектрисы

Пусть $AL$ — биссектриса угла $\angle BAC$ в треугольнике $ABC$. По определению, луч $AL$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла, то есть $\angle BAL = \angle LAC$.

При движении лучи $AB$, $AC$ и $AL$ переходят в лучи $A'B'$, $A'C'$ и $A'L'$ соответственно. Точка $L$ на стороне $BC$ переходит в точку $L'$ на стороне $B'C'$.

Движение сохраняет величину углов, поэтому $\angle B'A'L' = \angle BAL$ и $\angle L'A'C' = \angle LAC$. Так как по определению биссектрисы $\angle BAL = \angle LAC$, то отсюда следует, что $\angle B'A'L' = \angle L'A'C'$.

Это означает, что луч $A'L'$ делит угол $\angle B'A'C'$ пополам, то есть является его биссектрисой. Отрезок $A'L'$ является биссектрисой треугольника $A'B'C'$. Таким образом, биссектриса $AL$ перешла в биссектрису $A'L'$. Аналогично для других биссектрис.

Ответ: Доказано, что при движении биссектриса треугольника переходит в соответствующую биссектрису, так как движение сохраняет величины углов.