Номер 4, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Может ли движение переводить две параллельные прямые в пересекающиеся прямые?

Движением (или изометрией) в геометрии называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Основными видами движения являются параллельный перенос, поворот и осевая симметрия.

Ключевым свойством движения является то, что оно сохраняет основные геометрические отношения и свойства фигур. В частности, движение переводит прямые в прямые, отрезки в равные им отрезки, а углы в равные им углы. Одним из таких сохраняемых свойств является параллельность прямых.

Чтобы ответить на вопрос, докажем, что движение переводит параллельные прямые в параллельные прямые. Будем использовать метод доказательства от противного.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ (что записывается как $a \parallel b$). Пусть $f$ — это некоторое движение (преобразование). При этом движении прямая $a$ переходит в прямую $a'$, а прямая $b$ — в прямую $b'$. Поскольку движение переводит прямые в прямые, $a'$ и $b'$ также являются прямыми.

Предположим, что образы прямых, $a'$ и $b'$, не параллельны, а пересекаются в некоторой точке $M'$. Это означает, что точка $M'$ принадлежит и прямой $a'$, и прямой $b'$.

Движение является взаимно-однозначным преобразованием, то есть для каждой точки-образа $M'$ существует единственная исходная точка (прообраз) $M$. Так как $M'$ лежит на прямой $a'$, ее прообраз $M$ должен лежать на прообразе прямой $a'$, то есть на прямой $a$. Аналогично, так как $M'$ лежит на прямой $b'$, ее прообраз $M$ должен лежать на прямой $b$.

Таким образом, мы получаем, что точка $M$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ пересекаются. Однако это прямо противоречит нашему начальному условию, согласно которому прямые $a$ и $b$ параллельны и не имеют общих точек.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение (что $a'$ и $b'$ пересекаются) было неверным. Следовательно, прямые $a'$ и $b'$ не могут пересекаться, а значит, они должны быть параллельны.

Вывод: любое движение сохраняет параллельность прямых и не может перевести параллельные прямые в пересекающиеся.

Ответ: Нет, не может. Движение является преобразованием, сохраняющим расстояния, и одним из его фундаментальных свойств является сохранение параллельности прямых. Две параллельные прямые после любого движения останутся параллельными.