Номер 6, страница 69 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Пусть движение переводит отрезок $AB$ в отрезок $A'B'$. Докажите, что середина $C$ отрезка $AB$ перейдет в середину $C'$ отрезка $A'B'$.

Доказательство:

Пусть дано движение (изометрия), которое переводит отрезок $AB$ в отрезок $A'B'$. Это означает, что точка $A$ переходит в точку $A'$, а точка $B$ — в точку $B'$. Обозначим это движение как преобразование $f$, так что $f(A) = A'$ и $f(B) = B'$.

По определению, движение является преобразованием, сохраняющим расстояние между любыми двумя точками. Следовательно, длина отрезка $AB$ равна длине его образа, отрезка $A'B'$: $AB = A'B'$.

Пусть $C$ — середина отрезка $AB$. По определению середины отрезка, точка $C$ принадлежит отрезку $AB$ и делит его пополам, то есть выполняются два условия:
1. Точки $A, C, B$ лежат на одной прямой (коллинеарны).
2. Расстояния от $C$ до концов отрезка равны: $AC = CB = \frac{1}{2}AB$.

Пусть $C'$ — середина отрезка $A'B'$. Это означает, что $A'C' = C'B' = \frac{1}{2}A'B'$.

Рассмотрим образ точки $C$ при данном движении. Обозначим его $f(C) = D$. Нам необходимо доказать, что точка $D$ совпадает с точкой $C'$.

Используем свойства движения:

1. Сохранение расстояний. Расстояние между образами точек равно расстоянию между самими точками.
Следовательно, расстояние от $A'$ до $D$ равно расстоянию от $A$ до $C$: $A'D = AC$.
Аналогично, расстояние от $B'$ до $D$ равно расстоянию от $B$ до $C$: $B'D = BC$.
Поскольку $C$ — середина $AB$, мы знаем, что $AC = BC$. Из этого следует, что $A'D = B'D$. Таким образом, точка $D$ равноудалена от концов отрезка $A'B'$.

2. Сохранение коллинеарности. Движение переводит точки, лежащие на одной прямой, в точки, также лежащие на одной прямой.
Поскольку точки $A, C, B$ лежат на одной прямой, их образы $A', D, B'$ также должны лежать на одной прямой.

Итак, мы установили, что точка $D$ лежит на прямой, проходящей через $A'$ и $B'$, и при этом равноудалена от точек $A'$ и $B'$. Единственная точка на отрезке, удовлетворяющая этим условиям, — это его середина.

Поскольку $C'$ по определению является серединой отрезка $A'B'$, а точка $D$ обладает теми же свойствами, то точки $D$ и $C'$ должны совпадать: $D=C'$.

Таким образом, образ середины $C$ отрезка $AB$ есть середина $C'$ отрезка $A'B'$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. При движении середина отрезка переходит в середину его образа.