Вопросы, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какое соответствие между точками плоскости называется взаимно однозначным?

2. Что называется преобразованием плоскости?

3. Какое преобразование плоскости называется движением?

4. Приведите примеры движений.

5. Что называется композицией преобразований плоскости?

6. Какие фигуры называются равными?

7. В каком случае равны два треугольника?

8. Сколько имеется движений, переводящих правильный треугольник в себя?

1. Какое соответствие между точками плоскости называется взаимно однозначным?
Взаимно однозначным соответствием (или биекцией) между точками плоскости называется такое правило (отображение), которое каждой точке плоскости сопоставляет ровно одну точку этой же плоскости, и при этом выполняются два условия:
1. Разным точкам соответствуют разные точки (инъективность). Если точки $A$ и $B$ различны ($A \neq B$), то их образы $A'$ и $B'$ также различны ($A' \neq B'$).
2. Каждая точка плоскости является образом какой-либо точки (сюръективность). Для любой точки $C'$ на плоскости существует такая точка $C$, что $C'$ является ее образом.
Иными словами, это полное сопоставление точек плоскости самой себе без пропусков и повторений.
Ответ: Взаимно однозначным называется такое соответствие, при котором каждой точке плоскости соответствует одна и только одна точка этой же плоскости, и каждая точка плоскости оказывается образом одной и только одной точки.

2. Что называется преобразованием плоскости?
Преобразованием плоскости называется любое взаимно однозначное соответствие между точками плоскости. Таким образом, преобразование плоскости — это правило, по которому каждая точка плоскости $M$ переходит в некоторую точку $M'$ этой же плоскости, причем каждая точка плоскости является образом ровно одной исходной точки.
Ответ: Преобразованием плоскости называется взаимно однозначное соответствие точек плоскости самой себе.

3. Какое преобразование плоскости называется движением?
Движением (или изометрическим преобразованием) называется преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Это означает, что для любых двух точек $A$ и $B$ плоскости и их образов $A'$ и $B'$ при данном преобразовании, расстояние между $A$ и $B$ равно расстоянию между $A'$ и $B'$. Математически это записывается как $AB = A'B'$. Движение не изменяет форму и размеры фигур, а только их положение на плоскости.
Ответ: Движением называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками.

4. Приведите примеры движений.
Основными видами движений на плоскости являются:
- Осевая симметрия: отражение относительно некоторой прямой, называемой осью симметрии.
- Центральная симметрия: поворот на $180^\circ$ вокруг некоторой точки, называемой центром симметрии.
- Параллельный перенос: сдвиг всех точек плоскости в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Задается вектором переноса.
- Поворот: вращение всех точек плоскости на заданный угол вокруг некоторой точки, называемой центром поворота.
Также примером является тождественное преобразование, когда каждая точка отображается сама на себя (является частным случаем поворота на $0^\circ$ или параллельного переноса на нулевой вектор).
Ответ: Примерами движений являются осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос и поворот.

5. Что называется композицией преобразований плоскости?
Композицией (или последовательным выполнением) двух преобразований $F_1$ и $F_2$ называется новое преобразование $F$, которое получается в результате применения сначала преобразования $F_1$, а затем к полученному результату — преобразования $F_2$. Если точка $M$ переходит в точку $M'$ при преобразовании $F_1$, а точка $M'$ переходит в точку $M''$ при преобразовании $F_2$, то композиция этих преобразований переводит точку $M$ в точку $M''$. Композиция обозначается как $F_2 \circ F_1$.
Ответ: Композиция преобразований — это их последовательное выполнение, когда результат одного преобразования становится исходными данными для следующего.

6. Какие фигуры называются равными?
Две геометрические фигуры (например, $F_1$ и $F_2$) называются равными (или конгруэнтными), если существует движение, которое переводит одну фигуру в другую. Это означает, что фигуру $F_1$ можно полностью совместить с фигурой $F_2$ с помощью одного или нескольких движений (параллельного переноса, поворота, симметрии), не изменяя ее форму и размеры.
Ответ: Равными называются фигуры, которые можно совместить друг с другом при помощи движения.

7. В каком случае равны два треугольника?
Два треугольника называются равными, если их можно совместить движением. Для определения равенства треугольников без непосредственного нахождения движения используют три основных признака равенства:
1. По двум сторонам и углу между ними (I признак): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.
2. По стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.
3. По трем сторонам (III признак): если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника.
При выполнении любого из этих условий треугольники считаются равными.
Ответ: Два треугольника равны, если выполняется один из трех признаков равенства: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам или по трем сторонам.

8. Сколько имеется движений, переводящих правильный треугольник в себя?
Движение, которое переводит фигуру в себя, называется симметрией этой фигуры. Для правильного (равностороннего) треугольника существует 6 таких движений (симметрий):
- Одно тождественное преобразование: треугольник остается на месте.
- Два поворота вокруг центра треугольника (точки пересечения медиан) на углы $120^\circ$ и $240^\circ$. Поворот на $360^\circ$ эквивалентен тождественному преобразованию.
- Три осевые симметрии (отражения) относительно осей, которые являются высотами (а также медианами и биссектрисами) треугольника.
Таким образом, общее количество движений, переводящих правильный треугольник в себя, равно $1 + 2 + 3 = 6$.
Ответ: 6 движений.