Номер 11, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Квадрат повернули вокруг точки пересечения диагоналей на угол $45^\circ$. Какой многоугольник является общей частью полученного и исходного квадратов? Найдите его сторону, если сторона исходного квадрата равна 1.

Какой многоугольник является общей частью полученного и исходного квадратов?

Пусть исходный квадрат расположен в центре координатной плоскости, а его стороны параллельны осям координат. Центр квадрата, который является точкой пересечения его диагоналей, совпадает с началом координат $O(0,0)$. Поворот на 45° вокруг центра переводит вершины исходного квадрата в точки, лежащие на осях координат, а диагонали повернутого квадрата совмещаются с осями координат.

Стороны исходного квадрата отсекают четыре угла у повернутого квадрата. В то же время стороны повернутого квадрата отсекают четыре угла у исходного квадрата. Общая часть (пересечение) двух квадратов представляет собой многоугольник, ограниченный отрезками сторон обоих квадратов.

Поскольку исходный квадрат имеет 4 оси симметрии (две проходят через середины противоположных сторон и две — по диагоналям), а поворот осуществляется на угол 45°, который равен половине угла между осями симметрии (90°), то итоговая фигура будет обладать высокой симметрией. Вершины полученного многоугольника — это точки пересечения сторон исходного квадрата со сторонами повернутого. Всего таких точек пересечения будет 8. Из-за симметрии все стороны этого многоугольника будут равны между собой, и все его внутренние углы также будут равны. Многоугольник с восемью равными сторонами и равными углами является правильным восьмиугольником.

Ответ: Правильный восьмиугольник.

Найдите его сторону, если сторона исходного квадрата равна 1.

Рассмотрим одну из сторон исходного квадрата. Её длина равна 1. Эта сторона целиком не входит в итоговый восьмиугольник. Её концы отсекаются сторонами повернутого квадрата. Оставшийся центральный отрезок является одной из сторон нашего правильного восьмиугольника.

Пусть сторона искомого восьмиугольника равна $s$. Углы исходного квадрата срезаются сторонами повернутого квадрата, образуя маленькие равнобедренные прямоугольные треугольники в каждом углу. Сторона восьмиугольника $s$ является гипотенузой одного из таких треугольников.

Обозначим катет такого срезанного треугольника через $x$. Тогда по теореме Пифагора: $s^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$ Отсюда следует, что $s = x\sqrt{2}$, или, что то же самое, $x = \frac{s}{\sqrt{2}}$.

Теперь рассмотрим всю длину стороны исходного квадрата. Она складывается из центрального отрезка, который является стороной восьмиугольника (длиной $s$), и двух отрезков по краям, которые являются катетами срезанных треугольников (каждый длиной $x$).

Таким образом, мы можем записать уравнение: $x + s + x = 1$ $2x + s = 1$

Теперь подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $x$: $2\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right) + s = 1$ $\sqrt{2}s + s = 1$

Вынесем $s$ за скобки: $s(\sqrt{2} + 1) = 1$

Отсюда находим $s$: $s = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$: $s = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$

Ответ: Сторона многоугольника равна $\sqrt{2} - 1$.