Номер 5, страница 62 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Точка B получена поворотом точки A на угол $90^{\circ}$ по часовой стрелке (рис. 11.8). Укажите центр поворота.

Рис. 11.8

Для нахождения центра поворота $O$ воспользуемся его геометрическими свойствами. Центр поворота — это точка, равноудаленная от начальной точки $A$ и конечной точки $B$. Кроме того, угол $\angle AOB$ равен углу поворота, то есть $90^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным и прямоугольным.

Чтобы найти координаты центра поворота, введем систему координат. Пусть левый нижний узел сетки на рисунке соответствует началу координат $(0, 0)$. Тогда каждая клетка имеет размер $1 \times 1$.

В этой системе координат точка $A$ имеет координаты $(4, 6)$, а точка $B$ — координаты $(2, 2)$.

Пусть искомый центр поворота $O$ имеет координаты $(x, y)$.

Поскольку точка $B$ получена из точки $A$ поворотом на $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг центра $O(x, y)$, то вектор $\vec{OB}$ получается из вектора $\vec{OA}$ поворотом на тот же угол.

Запишем координаты векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$:

$\vec{OA} = (x_A - x, y_A - y) = (4 - x, 6 - y)$

$\vec{OB} = (x_B - x, y_B - y) = (2 - x, 2 - y)$

При повороте вектора с координатами $(u, v)$ на $90^\circ$ по часовой стрелке его новые координаты становятся $(v, -u)$. Применим это правило к вектору $\vec{OA}$. Его образ после поворота должен быть равен вектору $\vec{OB}$:

$(6 - y, -(4 - x)) = (2 - x, 2 - y)$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 6 - y = 2 - x \\ -(4 - x) = 2 - y \end{cases}$

Упростим эту систему:

$\begin{cases} x - y = 2 - 6 \\ x - 4 = 2 - y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - y = -4 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x$:

$(x - y) + (x + y) = -4 + 6$

$2x = 2$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы ($x + y = 6$):

$1 + y = 6$

$y = 5$

Таким образом, центр поворота $O$ имеет координаты $(1, 5)$.

Эта точка находится на 3 клетки влево и 1 клетку вниз от точки A.

Ответ: Центр поворота — это точка с координатами $(1, 5)$, если принять за начало координат левый нижний узел сетки.