Номер 27, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

27. Нарисуйте какую-нибудь точку O и какой-нибудь отрезок $AB$. Изобразите точки $A'$ и $B'$ так, чтобы $OA = OA'$, $OB = OB'$ и углы $AOA'$, $BOB'$ равнялись данному углу $\varphi$. Что можно сказать об отрезке $A'B'$?

Согласно условию задачи, нарисуем произвольную точку $O$ и отрезок $AB$. Далее, построим точки $A'$ и $B'$ так, как описано в задаче.

Построение точки $A'$: Точка $A'$ получается в результате поворота точки $A$ вокруг центра $O$ на угол $\phi$. Это означает, что $A'$ лежит на окружности с центром $O$ и радиусом $OA$, и угол между лучами $OA$ и $OA'$ равен $\phi$. Таким образом, по условию $OA = OA'$ и $\angle AOA' = \phi$.

Построение точки $B'$: Аналогично, точка $B'$ является результатом поворота точки $B$ вокруг того же центра $O$ на тот же угол $\phi$. Следовательно, $OB = OB'$ и $\angle BOB' = \phi$.

Соединив точки $A'$ и $B'$, мы получаем новый отрезок $A'B'$.

Анализ и доказательство:Отрезок $A'B'$ является образом отрезка $AB$ при повороте вокруг точки $O$ на угол $\phi$. Поворот является изометрическим преобразованием (движением), что означает, что он сохраняет расстояния между точками. Отсюда следует, что длина отрезка $A'B'$ должна быть равна длине отрезка $AB$.

Докажем это утверждение строго, сравнив треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$.

Рассмотрим эти два треугольника:
- Сторона $OA$ равна стороне $OA'$ (по условию $OA = OA'$).
- Сторона $OB$ равна стороне $OB'$ (по условию $OB = OB'$).
- Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle A'OB'$. Докажем это. Поскольку поворот на угол $\phi$ переводит луч $OA$ в $OA'$ и луч $OB$ в $OB'$, угол между исходными лучами должен сохраниться. Более формально, рассмотрим угол $\angle AOB'$. Мы можем выразить его двумя способами, используя свойство сложения углов (предполагая, что поворот идет в одном направлении и лучи расположены так, что сложение применимо):
$\angle AOB' = \angle AOB + \angle BOB' = \angle AOB + \phi$
$\angle AOB' = \angle AOA' + \angle A'OB' = \phi + \angle A'OB'$
Приравнивая два выражения для $\angle AOB'$, получаем $\angle AOB + \phi = \phi + \angle A'OB'$, откуда следует $\angle AOB = \angle A'OB'$.

Итак, мы имеем два треугольника, $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны. По первому признаку равенства треугольников, $\triangle AOB \cong \triangle A'OB'$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle AOB$ соответствует стороне $A'B'$ в $\triangle A'OB'$, следовательно, их длины равны.

Ответ: Отрезок $A'B'$ равен по длине отрезку $AB$. То есть, $A'B' = AB$. Это происходит потому, что отрезок $A'B'$ является результатом поворота отрезка $AB$ вокруг точки $O$ на угол $\phi$, а поворот сохраняет длины.