Номер 25, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Докажите, что многоугольник с нечетным числом сторон не может иметь центр симметрии.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что существует многоугольник с нечетным числом сторон $n$, который имеет центр симметрии $O$. Число вершин многоугольника также равно $n$ и, следовательно, является нечетным.

По определению центральной симметрии, для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно центра $O$ также должна принадлежать этой фигуре. В частности, для каждой вершины $A_i$ многоугольника, точка $A_i'$, симметричная $A_i$ относительно центра $O$, также должна быть одной из вершин этого многоугольника.

Таким образом, центральная симметрия разбивает множество вершин $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ на пары симметричных вершин $(A_i, A_j)$, где $A_j$ является образом $A_i$, либо оставляет вершины неподвижными. Неподвижной точкой при центральной симметрии может быть только сам центр симметрии. То есть, если вершина $A_k$ неподвижна, то она совпадает с центром $O$.

Все вершины, которые не совпадают с центром симметрии $O$, разбиваются на пары. Это означает, что их общее количество должно быть четным. Однако по условию общее число вершин $n$ нечетно. Это возможно только в том случае, если одна из вершин не имеет пары, то есть является неподвижной точкой симметрии.

Следовательно, одна из вершин многоугольника, назовем ее $A_k$, должна совпадать с центром симметрии $O$.

Теперь покажем, что это приводит к противоречию. Пусть вершина $A_k$ является центром симметрии. Рассмотрим две стороны, которые сходятся в этой вершине: $A_{k-1}A_k$ и $A_k A_{k+1}$ (индексы рассматриваются по модулю $n$).

Поскольку многоугольник симметричен относительно точки $A_k$, образ стороны $A_k A_{k+1}$ при этой симметрии также должен быть стороной многоугольника. Образом точки $A_k$ является она сама. Образом точки $A_{k+1}$ является точка $A_{k+1}'$ такая, что $A_k$ — середина отрезка $A_{k+1}A_{k+1}'$. Значит, образом стороны $A_k A_{k+1}$ является отрезок $A_k A_{k+1}'$.

Этот отрезок $A_k A_{k+1}'$ должен быть стороной многоугольника, выходящей из вершины $A_k$. Но из вершины $A_k$ выходят только две стороны: $A_{k-1}A_k$ и $A_k A_{k+1}$. Следовательно, отрезок $A_k A_{k+1}'$ должен совпадать со стороной $A_{k-1}A_k$.

Это означает, что точки $A_{k-1}$, $A_k$ и $A_{k+1}$ лежат на одной прямой. Но по определению многоугольника, две его смежные стороны не могут лежать на одной прямой (иначе $A_k$ не была бы вершиной).

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Многоугольник с нечетным числом сторон не может иметь центр симметрии.