Номер 21, страница 59 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Окружность на координатной плоскости задана уравнением $x^2 + 2x + y^2 - 4y - 3 = 0$. Напишите уравнение окружности, симметричной данной относительно начала координат.

Для решения задачи сначала необходимо определить параметры исходной окружности — координаты ее центра и радиус. Стандартное (каноническое) уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра, а $R$ — радиус.

Приведем данное уравнение $x^2 + 2x + y^2 - 4y - 3 = 0$ к каноническому виду, используя метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) - 3 = 0$

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для выражения $(x^2 + 2x)$ нам нужно добавить $1^2=1$. Для выражения $(y^2 - 4y)$ нужно добавить $2^2=4$. Чтобы уравнение осталось верным, мы должны вычесть те же значения.

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 - 3 = 0$

Теперь свернем выражения в скобках в квадраты разности/суммы:

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 - 3 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 8 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 8$

Из этого уравнения мы видим, что центр исходной окружности находится в точке $O_1(-1; 2)$, а квадрат ее радиуса $R^2 = 8$.

Теперь найдем уравнение окружности, симметричной данной относительно начала координат $(0; 0)$.

При симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; -y)$. Следовательно, центр новой окружности $O_2$ будет симметричен центру $O_1$ относительно начала координат.

Найдем координаты нового центра $O_2(a'; b')$:

$a' = -(-1) = 1$

$b' = -(2) = -2$

Таким образом, центр симметричной окружности — это точка $O_2(1; -2)$.

Симметрия относительно точки является изометрическим преобразованием (движением), то есть она сохраняет расстояния. Это означает, что радиус новой окружности будет таким же, как и у исходной. Итак, для новой окружности $R'^2 = R^2 = 8$.

Зная центр $O_2(1; -2)$ и квадрат радиуса $R'^2 = 8$, мы можем записать каноническое уравнение искомой окружности:

$(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 8$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 8$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 8$