Страница 59 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Точка А на координатной плоскости имеет координаты $(3; -4)$. Найдите координаты точки, симметричной точке А относительно начала координат.

По условию, точка А имеет координаты $(3; -4)$. Нам нужно найти координаты точки, симметричной точке А относительно начала координат, то есть точки О с координатами $(0; 0)$. Обозначим искомую точку как А'.

Симметрия относительно начала координат (центральная симметрия) означает, что точка О является серединой отрезка АА'. Если точка M имеет координаты $(x; y)$, то точка M', симметричная ей относительно начала координат, имеет координаты $(-x; -y)$.

Чтобы найти координаты точки А', симметричной точке А, нужно изменить знаки обеих её координат на противоположные.

Координата $x$ точки А равна 3. Следовательно, координата $x$ точки А' будет равна $-3$.

Координата $y$ точки А равна -4. Следовательно, координата $y$ точки А' будет равна $-(-4) = 4$.

Таким образом, точка А', симметричная точке А$(3; -4)$ относительно начала координат, имеет координаты $(-3; 4)$.

Ответ: $(-3; 4)$

17. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

18. Д

Для доказательства того, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии, нам нужно показать, что для любой точки, принадлежащей параллелограмму, симметричная ей точка относительно точки пересечения диагоналей также принадлежит этому параллелограмму.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По определению, точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

1. Симметрия вершин.
Согласно свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$. Из равенства $AO = OC$ следует, что точка $O$ является серединой диагонали $AC$, а значит, вершина $A$ симметрична вершине $C$ относительно точки $O$. Аналогично, из равенства $BO = OD$ следует, что $O$ является серединой диагонали $BD$, поэтому вершина $B$ симметрична вершине $D$ относительно точки $O$.

2. Симметрия произвольной точки на стороне.
Возьмём произвольную точку $M$ на стороне $AB$. Построим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно точки $O$. По определению, $O$ — середина отрезка $MM'$. Нам необходимо доказать, что точка $M'$ принадлежит стороне $CD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COM'$. В этих треугольниках:

• $AO = CO$ (по свойству диагоналей параллелограмма).
• $MO = M'O$ (по построению симметричной точки).
• $\angle AOM = \angle COM'$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOM \cong \triangle COM'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих элементов: $AM = CM'$ и $\angle MAO = \angle M'CO$.

Углы $\angle MAO$ (то есть $\angle CAB$) и $\angle M'CO$ (то есть $\angle ACD$) являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: $AB \parallel CD$. Из параллельности следует равенство внутренних накрест лежащих углов: $\angle CAB = \angle ACD$.

Поскольку мы доказали, что $\angle MAO = \angle M'CO$, это означает, что точка $M'$ лежит на прямой $CD$.

Так как точка $M$ лежит на отрезке $AB$, то выполняется неравенство $0 \le AM \le AB$. Из доказанного равенства $AM = CM'$ и свойства параллелограмма $AB = CD$ следует, что $0 \le CM' \le CD$. Это означает, что точка $M'$ принадлежит именно отрезку $CD$.

Таким образом, для любой точки $M$ на стороне $AB$ симметричная ей точка $M'$ относительно $O$ лежит на противоположной стороне $CD$. Аналогично доказывается, что для любой точки на стороне $BC$ симметричная ей точка лежит на стороне $DA$.

Поскольку любая точка границы параллелограмма имеет симметричную ей точку относительно $O$, которая также лежит на границе, то вся фигура параллелограмма (включая его внутреннюю область) симметрична относительно точки $O$.

Следовательно, точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма, так как по свойству диагоналей, они делятся точкой пересечения пополам, что обеспечивает симметрию вершин. Используя равенство треугольников, можно показать, что любая точка на одной стороне параллелограмма имеет симметричную ей точку на противоположной стороне, что доказывает симметричность всей фигуры.

18. Докажите, что центральная симметрия переводит окружность в окружность.

Для доказательства утверждения, что центральная симметрия переводит окружность в окружность, можно использовать как геометрический, так и координатный метод. Рассмотрим подробное геометрическое доказательство.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Окружность является геометрическим местом точек, удаленных от центра $O$ на расстояние $R$. Пусть центральная симметрия задана относительно некоторого центра $C$.

По определению центральной симметрии, для любой точки $M$ ее образ $M'$ находится на прямой $MC$ так, что $MC = CM'$ и точка $C$ лежит между $M$ и $M'$. Иначе говоря, $C$ — середина отрезка $MM'$.

1. Нахождение образа центра окружности.
При центральной симметрии относительно точки $C$, центр исходной окружности $O$ перейдет в точку $O'$, такую что точка $C$ является серединой отрезка $OO'$.

2. Нахождение образа произвольной точки окружности.
Возьмем любую точку $M$ на окружности $\omega$. По определению окружности, расстояние от ее центра до этой точки равно радиусу, то есть $OM = R$. Построим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно центра $C$. Это означает, что $C$ — середина отрезка $MM'$.

3. Доказательство того, что образ точки лежит на новой окружности.
Рассмотрим четырехугольник $OMO'M'$. Его диагонали $OO'$ и $MM'$ пересекаются в точке $C$. По построению, точка $C$ является серединой обеих диагоналей. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $OMO'M'$ — это параллелограмм.

Одним из свойств параллелограмма является равенство противолежащих сторон. Значит, сторона $O'M'$ равна противолежащей ей стороне $OM$. Так как $M$ — точка на исходной окружности, то $OM = R$. Отсюда следует, что $O'M' = R$.

Это означает, что любая точка $M'$, полученная в результате симметрии точки $M$ с исходной окружности, удалена от точки $O'$ на постоянное расстояние $R$. Таким образом, все образы точек исходной окружности лежат на новой окружности $\omega'$ с центром в точке $O'$ и радиусом $R$.

4. Доказательство того, что любая точка новой окружности является образом некоторой точки исходной.
Необходимо также показать, что для любой точки на окружности $\omega'$ существует прообраз на окружности $\omega$. Возьмем произвольную точку $P'$ на окружности $\omega'$ (то есть $O'P' = R$). Найдем ее прообраз $P$ при симметрии относительно центра $C$. Точка $P$ будет такой, что $C$ является серединой отрезка $PP'$. Рассматривая четырехугольник $OPO'P'$, мы аналогично доказываем, что это параллелограмм. Следовательно, $OP = O'P'$. Поскольку $O'P' = R$, то и $OP = R$. Это означает, что точка $P$ лежит на исходной окружности $\omega$.

Таким образом, мы доказали, что центральная симметрия отображает окружность $\omega(O, R)$ на окружность $\omega'(O', R)$, где $O'$ — образ центра $O$ при данной симметрии.

Ответ: Доказано, что центральная симметрия является движением (сохраняет расстояния), поэтому она переводит окружность в окружность. Центр новой окружности является симметричным образом центра исходной окружности, а радиус новой окружности равен радиусу исходной.

19. Докажите, что если четырехугольник имеет центр симметрии, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$ и точка $O$ — его центр симметрии. По определению центральной симметрии, для любой точки фигуры ее симметричный образ относительно центра симметрии также принадлежит этой фигуре. Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками, а значит, переводит вершины многоугольника в вершины.

Рассмотрим вершину $A$. При симметрии относительно точки $O$ она переходит в некоторую вершину четырехугольника. Этот образ не может быть самой вершиной $A$ (иначе $A$ совпало бы с $O$, что невозможно для невырожденного четырехугольника). Этот образ также не может быть смежной вершиной, например $B$. Если бы образом $A$ была вершина $B$, то $O$ была бы серединой стороны $AB$. Тогда образом $B$ была бы вершина $A$. Это означает, что вся фигура должна быть симметрична относительно середины одной из своих сторон, что нарушает общность для четырехугольника.

Следовательно, при центральной симметрии каждая вершина переходит в противолежащую ей вершину. Таким образом, образом вершины $A$ является вершина $C$, а образом вершины $B$ является вершина $D$.

Из того, что вершина $C$ симметрична вершине $A$ относительно точки $O$, следует, что точка $O$ является серединой диагонали $AC$.

Аналогично, из того, что вершина $D$ симметрична вершине $B$ относительно точки $O$, следует, что точка $O$ является серединой диагонали $BD$.

Мы получили, что диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Согласно одному из признаков параллелограмма, четырехугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если четырехугольник имеет центр симметрии, то он является параллелограммом.

20. Окружность задана уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Напишите уравнение центрально-симметричной окружности относительно начала координат.

20. Исходное уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Это каноническое уравнение окружности, из которого мы можем определить координаты ее центра и радиус. Центр окружности — это точка $C$ с координатами $(x_0, y_0)$, а ее радиус равен $R$.

Центральная симметрия относительно начала координат (точки $O(0, 0)$) — это преобразование, при котором каждая точка $M(a, b)$ переходит в точку $M'(a', b')$, такую что $a' = -a$ и $b' = -b$.

При центральной симметрии окружность переходит в окружность с тем же радиусом, так как это преобразование является движением (изометрией) и сохраняет расстояния. Изменится только положение ее центра. Чтобы найти координаты нового центра $C'$, нужно применить преобразование центральной симметрии к координатам исходного центра $C(x_0, y_0)$.

Координаты нового центра $C'$ будут: $x'_{c} = -x_0$ и $y'_{c} = -y_0$. Таким образом, новый центр — это точка $C'(-x_0, -y_0)$.

Зная новый центр $C'(-x_0, -y_0)$ и радиус $R$, мы можем записать уравнение новой, центрально-симметричной окружности, подставив эти значения в каноническую форму:

$(x - (-x_0))^2 + (y - (-y_0))^2 = R^2$

Упрощая выражение, получаем:

$(x + x_0)^2 + (y + y_0)^2 = R^2$

Ответ: $(x + x_0)^2 + (y + y_0)^2 = R^2$.

21. Окружность на координатной плоскости задана уравнением $x^2 + 2x + y^2 - 4y - 3 = 0$. Напишите уравнение окружности, симметричной данной относительно начала координат.

Для решения задачи сначала необходимо определить параметры исходной окружности — координаты ее центра и радиус. Стандартное (каноническое) уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра, а $R$ — радиус.

Приведем данное уравнение $x^2 + 2x + y^2 - 4y - 3 = 0$ к каноническому виду, используя метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) - 3 = 0$

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для выражения $(x^2 + 2x)$ нам нужно добавить $1^2=1$. Для выражения $(y^2 - 4y)$ нужно добавить $2^2=4$. Чтобы уравнение осталось верным, мы должны вычесть те же значения.

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 - 3 = 0$

Теперь свернем выражения в скобках в квадраты разности/суммы:

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 - 3 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 8 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 8$

Из этого уравнения мы видим, что центр исходной окружности находится в точке $O_1(-1; 2)$, а квадрат ее радиуса $R^2 = 8$.

Теперь найдем уравнение окружности, симметричной данной относительно начала координат $(0; 0)$.

При симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; -y)$. Следовательно, центр новой окружности $O_2$ будет симметричен центру $O_1$ относительно начала координат.

Найдем координаты нового центра $O_2(a'; b')$:

$a' = -(-1) = 1$

$b' = -(2) = -2$

Таким образом, центр симметричной окружности — это точка $O_2(1; -2)$.

Симметрия относительно точки является изометрическим преобразованием (движением), то есть она сохраняет расстояния. Это означает, что радиус новой окружности будет таким же, как и у исходной. Итак, для новой окружности $R'^2 = R^2 = 8$.

Зная центр $O_2(1; -2)$ и квадрат радиуса $R'^2 = 8$, мы можем записать каноническое уравнение искомой окружности:

$(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 8$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 8$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 8$

22. Прямая задана уравнением $ax + by + c = 0$. Напишите уравнение центрально-симметричной прямой относительно начала координат.

Пусть дана прямая $L_1$ с уравнением $ax + by + c = 0$. Мы ищем уравнение прямой $L_2$, которая является центрально-симметричной прямой $L_1$ относительно начала координат, то есть точки $O(0, 0)$.

Центральная симметрия относительно начала координат — это преобразование, при котором каждая точка плоскости $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x', y')$, координаты которой определяются по формулам: $x' = -x$ и $y' = -y$.

Чтобы найти уравнение искомой прямой $L_2$, возьмем на ней произвольную точку $M'(x', y')$. По определению симметрии, эта точка является образом некоторой точки $M(x, y)$, принадлежащей исходной прямой $L_1$. Следовательно, мы можем выразить координаты точки $M$ через координаты точки $M'$:

$x = -x'$

$y = -y'$

Так как точка $M(x, y)$ лежит на прямой $L_1$, ее координаты удовлетворяют уравнению $ax + by + c = 0$. Подставим в это уравнение выражения для $x$ и $y$ через $x'$ и $y'$:

$a(-x') + b(-y') + c = 0$

После упрощения получаем:

$-ax' - by' + c = 0$

Это и есть уравнение, связывающее координаты $x'$ и $y'$ любой точки на симметричной прямой $L_2$. Для получения стандартной формы уравнения прямой заменим переменные $x'$ и $y'$ на $x$ и $y$ соответственно:

$-ax - by + c = 0$

Это уравнение можно также умножить на $-1$, чтобы получить эквивалентную, более привычную форму:

$ax + by - c = 0$

Оба последних уравнения описывают одну и ту же прямую, симметричную исходной относительно начала координат. Геометрически это означает, что у симметричной прямой сохраняется тот же вектор нормали $(a, b)$, то есть она параллельна исходной прямой, но свободный член $c$ меняет свой знак. Если исходная прямая проходит через начало координат ($c=0$), то она симметрична самой себе.

Ответ: $ax + by - c = 0$ или $-ax - by + c = 0$.

23. Прямая на координатной плоскости задана уравнением $x - 2y + 3 = 0$. Напишите уравнение прямой, симметричной данной относительно начала координат.

Чтобы найти уравнение прямой, симметричной данной прямой относительно начала координат (точки $(0,0)$), необходимо в уравнении исходной прямой произвести замену координат. Если точка $(x, y)$ принадлежит исходной прямой, то точка $(-x, -y)$ будет принадлежать симметричной ей прямой. Следовательно, для получения уравнения искомой прямой нужно в исходном уравнении заменить $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$.

Дано уравнение прямой:
$x - 2y + 3 = 0$

Выполним замену переменных $x \rightarrow -x$ и $y \rightarrow -y$:
$(-x) - 2(-y) + 3 = 0$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки:
$-x + 2y + 3 = 0$

Это уравнение является уравнением искомой прямой. Для приведения его к более стандартному виду, где коэффициент при $x$ положителен, можно умножить все члены уравнения на $-1$:
$(-1) \cdot (-x + 2y + 3) = (-1) \cdot 0$
$x - 2y - 3 = 0$

Ответ: $x - 2y - 3 = 0$