Страница 52 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Сколько осей симметрии имеет: а) окружность; б) круг?

а) окружность
Осью симметрии фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две части так, что эти части являются зеркальным отражением друг друга. Для окружности любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии. Такая прямая содержит диаметр окружности. При отражении относительно такой прямой каждая точка окружности переходит в другую точку этой же окружности. Так как через центр окружности можно провести бесконечное множество прямых, окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.
Ответ: бесконечно много.

б) круг
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, включая саму окружность. По аналогии с окружностью, любая прямая, проходящая через центр круга, является его осью симметрии. Эта прямая делит круг на два симметричных полукруга. Так как через центр круга можно провести бесконечное множество прямых, круг также имеет бесконечное множество осей симметрии. Все оси симметрии круга являются осями симметрии и для его граничной окружности.
Ответ: бесконечно много.

11. Сколько осей симметрии имеет прямая?

Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Чтобы определить, сколько осей симметрии имеет прямая, рассмотрим все возможные варианты расположения предполагаемой оси симметрии относительно данной прямой. Пусть данная прямая называется $l$.

Существует два типа осей симметрии для прямой:

1. Сама прямая $l$.Если в качестве оси симметрии взять саму прямую $l$, то при отражении каждая ее точка перейдет сама в себя, так как расстояние от любой точки на прямой до самой прямой равно нулю. Следовательно, вся прямая $l$ отображается на себя, а значит, она является своей осью симметрии. Это одна ось симметрии.

2. Любая прямая, перпендикулярная прямой $l$.Рассмотрим любую прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$. Пусть они пересекаются в точке $A$. Возьмем произвольную точку $B$ на прямой $l$. При симметричном отражении относительно прямой $m$, точка $B$ перейдет в точку $B'$, которая также будет лежать на прямой $l$ на таком же расстоянии от точки $A$, что и точка $B$, но по другую сторону от нее. Это справедливо для любой точки прямой $l$, поэтому вся прямая $l$ при отражении относительно любой перпендикулярной ей прямой $m$ переходит сама в себя. Через каждую точку прямой $l$ можно провести единственную перпендикулярную ей прямую. Поскольку на прямой $l$ находится бесконечное множество точек, то существует и бесконечное множество прямых, перпендикулярных $l$. Каждая из них является осью симметрии для прямой $l$.

Других осей симметрии у прямой нет. Если предполагаемая ось симметрии пересекает прямую $l$ не под прямым углом, то отраженная прямая не совпадет с исходной.

Таким образом, у прямой есть одна ось симметрии, которая с ней совпадает, и бесконечное множество осей симметрии, которые ей перпендикулярны. В совокупности это составляет бесконечное множество осей.

Ответ: прямая имеет бесконечное множество осей симметрии.

12. Сколько осей симметрии имеет:

а) прямоугольник, отличный от квадрата;

б) квадрат (рис. 9.9)?

а)

а) прямоугольник, отличный от квадрата

Ось симметрии – это прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Если согнуть фигуру по этой оси, то обе ее части совпадут.

У прямоугольника, который не является квадратом, есть две такие оси:

1. Прямая, соединяющая середины его более длинных сторон.
2. Прямая, соединяющая середины его более коротких сторон.

Эти оси проходят через центр прямоугольника и перпендикулярны его сторонам. Диагонали такого прямоугольника не являются осями симметрии, потому что при сгибании по диагонали части фигуры не совместятся.

Ответ: 2.

б) квадрат

Квадрат – это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Он обладает осями симметрии, как и обычный прямоугольник, а также имеет дополнительные.

У квадрата четыре оси симметрии:

1. Прямая, соединяющая середины одной пары противоположных сторон.
2. Прямая, соединяющая середины другой пары противоположных сторон.
3. Одна диагональ.
4. Вторая диагональ.

В отличие от обычного прямоугольника, у квадрата диагонали являются осями симметрии, так как они делят его на два равных равнобедренных треугольника, которые при сгибании совпадут.

Ответ: 4.

13. Сколько осей симметрии имеет:
а) параллелограмм, отличный от ромба;
б) ромб (рис. 9.10)?

а)

б)

Рис. 9.10

а) Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Рассмотрим общий случай параллелограмма, у которого смежные стороны не равны и углы не являются прямыми, как показано на рисунке 9.10 а). Такой параллелограмм, отличный от ромба или прямоугольника, не имеет осей симметрии. Хотя у него есть центр симметрии (точка пересечения диагоналей), ни одна прямая не может разделить его на две зеркально симметричные половины. Если бы диагональ была осью симметрии, она должна была бы быть перпендикулярна другой диагонали, что неверно для общего параллелограмма. Если бы осью симметрии была прямая, соединяющая середины противоположных сторон, она была бы перпендикулярна двум другим сторонам, что является свойством только прямоугольника.Ответ: 0

б) Ромб — это параллелограмм, у которого все четыре стороны равны. У ромба есть две оси симметрии, и ими являются его диагонали.Рассмотрим диагонали ромба:1. Каждая диагональ делит ромб на два равных равнобедренных треугольника. Например, диагональ $d_1$ делит ромб на два треугольника, которые зеркально симметричны относительно этой диагонали. При отражении относительно прямой, содержащей эту диагональ, ромб переходит сам в себя.2. То же самое верно и для второй диагонали $d_2$. Она также делит ромб на два равных треугольника и является осью симметрии.В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов, что и обеспечивает наличие осевой симметрии относительно них. Других осей симметрии у ромба (если он не является квадратом) нет.Ответ: 2

14. Сколько осей симметрии имеет правильный:

а) пятиугольник;

б) шестиугольник;

в) $n$-угольник?

а) пятиугольник

Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. У правильного многоугольника количество осей симметрии равно количеству его сторон.
Для правильного пятиугольника, у которого число сторон $n=5$ (нечетное), каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны. Поскольку у пятиугольника 5 вершин, он имеет ровно 5 осей симметрии.

Ответ: 5.

б) шестиугольник

У правильного шестиугольника число сторон $n=6$ (четное). В случае многоугольника с четным числом сторон оси симметрии бывают двух типов:
1. Оси, проходящие через противоположные вершины. У шестиугольника 3 пары противоположных вершин, следовательно, 3 таких оси. Это можно рассчитать как $n/2 = 6/2 = 3$.
2. Оси, проходящие через середины противоположных сторон. У шестиугольника 3 пары противоположных сторон, следовательно, еще 3 таких оси. Это также можно рассчитать как $n/2 = 6/2 = 3$.
Общее количество осей симметрии равно сумме осей обоих типов: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.

в) n-угольник

Для правильного $n$-угольника количество осей симметрии зависит от четности числа $n$.
1. Если $n$ — нечетное число. Каждая ось симметрии соединяет одну из $n$ вершин с серединой противоположной ей стороны. Таким образом, количество осей симметрии равно количеству вершин, то есть $n$.
2. Если $n$ — четное число. Оси симметрии делятся на два типа:
- Проходящие через пары противоположных вершин. Таких осей будет $n/2$.
- Проходящие через середины пар противоположных сторон. Таких осей будет также $n/2$.
Суммарное количество осей симметрии в этом случае равно $n/2 + n/2 = n$.
Следовательно, для любого правильного $n$-угольника число осей симметрии равно $n$.

Ответ: $n$.

15. Какие фигуры, изображенные на рисунке 9.11, имеют оси симметрии?

а)

б)

в)

г)

Рис. 9.11

а) Данная фигура является полукругом. Осью симметрии называется прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части. У полукруга есть одна ось симметрии. Это прямая, которая проходит через центр диаметра и перпендикулярна ему.

Ответ: имеет ось симметрии.

б) Эта фигура — сектор круга с центральным углом $90^\circ$ (четверть круга). У этого сектора есть одна ось симметрии, которая является биссектрисой прямого угла, образованного радиусами. При отражении относительно этой прямой фигура совмещается сама с собой.

Ответ: имеет ось симметрии.

в) Эта фигура не имеет осей симметрии. Ни одна прямая не делит эту фигуру на две зеркально равные части. Например, при отражении относительно вертикальной прямой, проходящей через центр, верхний левый сектор должен был бы отразиться в верхний правый, но его там нет. Эта фигура обладает центральной симметрией (симметрией поворота на $180^\circ$), но не осевой симметрией.

Ответ: не имеет оси симметрии.

г) Фигура представляет собой правильную пятиконечную звезду. Такая фигура имеет 5 осей симметрии. Каждая ось проходит через одну из вершин звезды и середину противолежащего ей внутреннего отрезка.

Ответ: имеет ось симметрии.