Страница 46 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Изобразите отрезок $A'B'$, полученный из отрезка $AB$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ (рис. 8.7).

Рис. 8.7

Для того чтобы изобразить отрезок $A'B'$, полученный из отрезка $AB$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$, необходимо выполнить параллельный перенос его конечных точек – $A$ и $B$. При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок.

Определение вектора переноса
Рассмотрим вектор $\vec{a}$ на клетчатой плоскости. Его конец смещен относительно его начала на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Следовательно, каждая точка фигуры при данном параллельном переносе сместится на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз.

Построение точки A'
Чтобы найти образ точки $A$, точку $A'$, нужно отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{a}$. Для этого смещаем точку $A$ на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Отмечаем полученную точку $A'$.

Построение точки B'
Аналогично, чтобы найти образ точки $B$, точку $B'$, смещаем точку $B$ на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Отмечаем полученную точку $B'$.

Построение отрезка A'B'
Соединив точки $A'$ и $B'$ отрезком, мы получим искомый отрезок $A'B'$, который является образом отрезка $AB$ при заданном параллельном переносе.

На изображении ниже показан результат построения. Исходные фигуры показаны бирюзовым цветом, а полученный отрезок $A'B'$ — красным. Пунктирные линии показывают векторы переноса для точек $A$ и $B$.

Ответ: Изображение искомого отрезка $A'B'$ представлено выше. Он получен путем смещения каждой из точек $A$ и $B$ исходного отрезка на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз и соединения полученных точек $A'$ и $B'$.

3. При каком условии существует параллельный перенос, переводящий один отрезок в другой?

Для того чтобы существовал параллельный перенос, переводящий один отрезок, назовем его $AB$, в другой, назовем его $CD$, необходимо и достаточно выполнения двух условий, которые вытекают из свойств самого параллельного переноса.

1. Сохранение расстояния.
Параллельный перенос является изометрией, то есть сохраняет расстояния между точками. Следовательно, длина исходного отрезка должна быть равна длине отрезка, в который он переходит.
$|AB| = |CD|$

2. Сохранение направления.
При параллельном переносе любая прямая переходит либо в себя, либо в параллельную ей прямую. Это означает, что прямая, содержащая отрезок $AB$, должна быть параллельна прямой, содержащей отрезок $CD$. То есть отрезки должны быть параллельны или лежать на одной прямой.
$AB \parallel CD$

Таким образом, необходимое условие заключается в том, что отрезки должны быть равны по длине и параллельны.

Докажем, что это условие является и достаточным. Пусть отрезки $AB$ и $CD$ равны по длине и параллельны. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны и их длины равны. Возможны два случая:

1. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены, то есть $\vec{AB} = \vec{CD}$.
Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{AC}$. Он переводит точку $A$ в точку $C$. Точка $B$ при этом переносе перейдет в такую точку $B'$, что $\vec{BB'} = \vec{AC}$. Покажем, что $B'$ совпадает с $D$. Из векторного равенства $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ и предположения $\vec{AB} = \vec{CD}$ следует, что $\vec{AC} = \vec{CD} + \vec{BC}$. Вектор $\vec{BD}$ можно выразить как $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$. Сравнивая выражения, получаем $\vec{AC} = \vec{BD}$. Следовательно, перенос на вектор $\vec{AC}$ действительно переводит точку $B$ в точку $D$. Значит, весь отрезок $AB$ переходит в отрезок $CD$.

2. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ направлены противоположно, то есть $\vec{AB} = -\vec{CD}$ или, что эквивалентно, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{u} = \vec{AD}$. Он переводит точку $A$ в точку $D$. Точка $B$ при этом переносе перейдет в такую точку $B'$, что $\vec{BB'} = \vec{AD}$. Покажем, что $B'$ совпадает с $C$. Из векторного равенства $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}$ и предположения $\vec{AB} = \vec{DC}$ следует, что $\vec{AD} = \vec{DC} + \vec{BD}$. Вектор $\vec{BC}$ можно выразить как $\vec{BC} = \vec{BD} + \vec{DC}$. Сравнивая выражения, получаем $\vec{AD} = \vec{BC}$. Следовательно, перенос на вектор $\vec{AD}$ действительно переводит точку $B$ в точку $C$. Значит, весь отрезок $AB$ переходит в отрезок $CD$.

В обоих возможных случаях такой параллельный перенос существует.

Ответ: Параллельный перенос, переводящий один отрезок в другой, существует тогда и только тогда, когда эти отрезки равны по длине и параллельны (или лежат на одной прямой).

4. Изобразите треугольник, полученный из треугольника ABC параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Для того чтобы выполнить параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $ \vec{a} $, необходимо каждую вершину треугольника ($A$, $B$ и $C$) сместить на этот вектор.

Сначала определим, как вектор $ \vec{a} $ сдвигает точку на плоскости. Глядя на его изображение на клетчатой бумаге, мы видим, что он соответствует смещению на 2 клетки вправо и 2 клетки вниз.

Следовательно, для получения нового треугольника $A'B'C'$, мы смещаем каждую вершину исходного треугольника $ABC$ на 2 клетки вправо и 2 клетки вниз. Вершина $A$ переходит в $A'$, вершина $B$ — в $B'$, а вершина $C$ — в $C'$. Соединив новые вершины $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками, мы получаем искомый треугольник. На рисунке ниже итоговый треугольник $A'B'C'$ показан красным цветом, а пунктирные линии иллюстрируют перенос каждой вершины.

Ответ: На рисунке показан результат — треугольник $A'B'C'$ (красный, с пунктирной границей), полученный параллельным переносом треугольника $ABC$ на вектор $ \vec{a} $.

5. Существует ли параллельный перенос, при котором:

а) одна сторона треугольника переходит в его другую сторону;

б) одна сторона квадрата переходит в его другую сторону?

а)

Параллельный перенос — это движение, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это означает, что любой отрезок при параллельном переносе переходит в равный ему и параллельный ему отрезок.

В треугольнике любые две стороны не являются параллельными, так как они пересекаются в общей вершине. Поскольку параллельный перенос сохраняет параллельность, одна сторона треугольника не может перейти в другую его сторону, так как они не параллельны.

Ответ: нет, не существует.

б)

Да, такой параллельный перенос существует для противоположных сторон квадрата. У квадрата противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Пусть дан квадрат $ABCD$. Рассмотрим его противоположные стороны $AB$ и $DC$. Эти стороны параллельны ($AB \parallel DC$) и равны по длине ($|AB| = |DC|$).

Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{AD}$. При таком переносе точка $A$ перейдет в точку $D$. Точка $B$ перейдет в такую точку $B'$, что $\vec{BB'} = \vec{AD}$. Поскольку $ABCD$ — квадрат, то $\vec{AD} = \vec{BC}$. Следовательно, $\vec{BB'} = \vec{BC}$, что означает, что точка $B'$ совпадает с точкой $C$.

Таким образом, параллельный перенос на вектор $\vec{AD}$ переводит отрезок $AB$ в отрезок $DC$. Аналогично, параллельный перенос на вектор $\vec{AB}$ переводит сторону $AD$ в сторону $BC$. Однако перевести одну сторону в смежную с ней (например, $AB$ в $BC$) с помощью параллельного переноса невозможно, так как смежные стороны не параллельны.

Ответ: да, существует.

6. Для какого четырехугольника существует параллельный перенос, переводящий одну его сторону в другую?

Параллельный перенос — это геометрическое преобразование, которое сдвигает каждую точку фигуры на один и тот же заданный вектор. Ключевое свойство параллельного переноса заключается в том, что он переводит любой отрезок в равный ему по длине и параллельный ему отрезок.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$. Предположим, что существует параллельный перенос на вектор $\vec{v}$, который переводит одну сторону этого четырехугольника, например сторону $AB$, в другую сторону, $DC$. Это означает, что при данном переносе конечные точки отрезка $AB$ переходят в конечные точки отрезка $DC$. Возможны два случая:

1. Точка $A$ переходит в $D$, а точка $B$ переходит в $C$.В этом случае вектор переноса $\vec{v}$ должен быть равен вектору $\vec{AD}$ и одновременно вектору $\vec{BC}$. Таким образом, мы получаем векторное равенство: $\vec{AD} = \vec{BC}$.Это равенство означает, что отрезки $AD$ и $BC$ параллельны и равны по длине ($AD \parallel BC$ и $|AD| = |BC|$). Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. В этом случае стороны, которые переводятся одна в другую параллельным переносом (с вектором $\vec{AD}$), — это $AB$ и $DC$.

2. Точка $A$ переходит в $C$, а точка $B$ переходит в $D$.В этом случае вектор переноса $\vec{v}$ равен $\vec{AC}$ и одновременно $\vec{BD}$. То есть, $\vec{AC} = \vec{BD}$. Это условие означает, что диагонали четырехугольника параллельны и равны, что возможно только для вырожденного четырехугольника (вершины лежат на двух параллельных прямых, но образуют "перекрещенную" фигуру, которая не является простым многоугольником) или для параллелограмма. Однако, стандартно под "переводом стороны в сторону" понимают сохранение порядка вершин, как в первом случае.

Рассмотрим перенос смежных сторон. Если бы параллельный перенос переводил сторону $AB$ в смежную ей сторону $BC$, то точка $A$ перешла бы в $B$, а $B$ — в $C$. Тогда вектор переноса был бы $\vec{AB}$, и при этом должно было бы выполняться равенство $\vec{BC} = \vec{AB}$. Это означает, что точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, а четырехугольник является вырожденным.

Следовательно, условию задачи удовлетворяет четырехугольник, у которого есть пара параллельных и равных противоположных сторон. Такой четырехугольник по определению является параллелограммом.

Ответ: Для параллелограмма.

7. Изобразите точку A, из которой получается точка $A'$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ (рис. 8.9).

Рис. 8.9

Параллельный перенос — это преобразование, при котором каждая точка фигуры смещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Этот сдвиг задается вектором. Если точка $A$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ переходит в точку $A'$, то справедливо векторное равенство $\vec{AA'} = \vec{a}$.

В условии задачи дана конечная точка $A'$ и вектор переноса $\vec{a}$. Нам необходимо найти начальную точку $A$. Для этого нужно выполнить обратное преобразование, то есть сдвинуть точку $A'$ на вектор, противоположный вектору $\vec{a}$. Противоположный вектор обозначается как $-\vec{a}$ и имеет те же компоненты, но с обратными знаками. Таким образом, чтобы найти точку $A$, нужно от точки $A'$ отложить вектор $-\vec{a}$.

Выполним решение по шагам:

1. Определение координат вектора $\vec{a}$
Поместим начало вектора $\vec{a}$ в узел координатной сетки. Из рисунка видно, что конец вектора смещен относительно его начала на 1 клетку вправо и на 2 клетки вниз. Следовательно, координаты вектора переноса $\vec{a}$ равны $(1; -2)$.

2. Определение координат вектора $-\vec{a}$
Вектор, противоположный вектору $\vec{a}(1; -2)$, будет иметь противоположные координаты: $-\vec{a} = (-1; -(-2)) = (-1; 2)$.

3. Построение точки $A$
Чтобы найти исходную точку $A$, нужно выполнить перенос точки $A'$ на вектор $-\vec{a}(-1; 2)$. Для этого от точки $A'$ необходимо сместиться на 1 клетку влево (соответствует координате $-1$ по оси абсцисс) и на 2 клетки вверх (соответствует координате $2$ по оси ординат).

На рисунке выше показано решение: искомая точка $A$ (синего цвета) получена смещением точки $A'$ на вектор $-\vec{a}$ (показан красной пунктирной линией).

Ответ: Чтобы изобразить точку $A$, из которой получается точка $A'$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$, необходимо от точки $A'$ отложить вектор $-\vec{a}$, то есть сместиться на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх.

8. Изобразите отрезок $AB$, из которого получается отрезок $A'B'$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ (рис. 8.10).

Рис. 8.10

Чтобы найти отрезок $AB$, из которого был получен отрезок $A'B'$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$, необходимо выполнить обратное преобразование. Обратным преобразованием к параллельному переносу на вектор $\vec{a}$ является параллельный перенос на противоположный вектор $-\vec{a}$. Это означает, что для нахождения исходной точки $A$ нужно сместить точку $A'$ на вектор $-\vec{a}$, а для нахождения точки $B$ нужно сместить точку $B'$ на тот же вектор $-\vec{a}$.

Сначала определим по рисунку на клетчатой плоскости сам вектор $\vec{a}$. Его можно представить как смещение на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз.

Соответственно, противоположный вектор $-\vec{a}$ будет осуществлять смещение в обратном направлении: на 2 клетки влево и 1 клетку вверх.

Теперь выполним построение искомого отрезка $AB$:
1. Находим точку $A$. Для этого от точки $A'$ отсчитываем 2 клетки влево и 1 клетку вверх и ставим точку $A$.
2. Находим точку $B$. Аналогично, от точки $B'$ отсчитываем 2 клетки влево и 1 клетку вверх и ставим точку $B$.
3. Соединяем полученные точки $A$ и $B$ отрезком.

Ответ: Искомый отрезок $AB$ — это отрезок, концы которого, точки $A$ и $B$, получаются путем смещения точек $A'$ и $B'$ соответственно на 2 клетки влево и 1 клетку вверх.

9. Изобразите треугольник $ABC$, из которого получается треугольник $A'B'C'$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ (рис. 8.11).

Рис. 8.11

По условию задачи, треугольник A'B'C' получен из треугольника ABC в результате параллельного переноса на вектор $\vec{a}$. Это означает, что для получения каждой вершины нового треугольника соответствующая вершина исходного треугольника была смещена на вектор $\vec{a}$. Математически это можно записать так: $\vec{AA'} = \vec{a}$, $\vec{BB'} = \vec{a}$ и $\vec{CC'} = \vec{a}$.

Чтобы найти исходный треугольник ABC, необходимо выполнить обратное преобразование. Обратным к параллельному переносу на вектор $\vec{a}$ является параллельный перенос на вектор $-\vec{a}$, который равен вектору $\vec{a}$ по длине, но противоположен ему по направлению.

Сначала определим характеристики вектора переноса $\vec{a}$ по рисунку на клетчатой бумаге. Вектор $\vec{a}$ соответствует смещению на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Следовательно, обратный вектор $-\vec{a}$ будет соответствовать смещению на 2 клетки влево и на 1 клетку вверх.

Таким образом, для построения искомого треугольника ABC необходимо каждую вершину треугольника A'B'C' перенести на вектор $-\vec{a}$. Вершина A будет найдена смещением вершины A' на 2 клетки влево и 1 клетку вверх. Аналогично, вершина B будет найдена смещением вершины B' на 2 клетки влево и 1 клетку вверх. Наконец, вершина C будет найдена смещением вершины C' на 2 клетки влево и 1 клетку вверх. Соединив полученные точки A, B и C отрезками, мы получим искомый треугольник ABC.

Ответ: Чтобы изобразить треугольник ABC, необходимо каждую вершину треугольника A'B'C' (точки A', B' и C') сместить на 2 клетки влево и на 1 клетку вверх, а затем соединить полученные точки A, B и C отрезками.